Câu hỏi:

19/08/2025 28 Lưu

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3\,;\,1\,;\,2} \right)\), \(B\left( { - 3\,;\, - 1\,;\,0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 3z - 14 = 0\). Điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(\Delta MAB\) vuông tại \(M\). Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Đáp án: \(d\left( {M\,,\,\left( {Oxy} \right)} \right) = 4\)

Gọi \(M\left( {x\,;\,y\,;\,z} \right)\) là điểm cần tìm.

\(\overrightarrow {AM}  = \left( {x - 3\,;\,y - 1\,;\,z - 2} \right)\), \(\overrightarrow {BM}  = \left( {x + 3\,;\,y + 1\,;\,z} \right)\).

Vì \(\Delta MAB\) vuông tại \(M\) nên \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM}  = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 1} \right)\left( {y + 1} \right) + z\left( {z - 2} \right) = 0\)

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 9 + {y^2} - 1 + {z^2} - 2z = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 11\].

\( \Rightarrow M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \).

Nhận xét thấy \(d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 + 3.1 - 14} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^3}} }} = \sqrt {11}  = R\).

\( \Rightarrow \left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại \(M\)

\( \Rightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(\left( P \right)\)

Vậy \(d\left( {M\,,\,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| 4 \right| = 4\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đáp án: \[h - k = 0\]

\[H \in {\Delta _1} \Leftrightarrow H\left( {3 + 2t;t;1 + t} \right)\].

\[K \in {\Delta _2} \Leftrightarrow K\left( {1 + m;2 + 2m;m} \right)\].

Ta có\[\overrightarrow {HK}  = \left( {m - 2t - 2;2m - t + 2;m - t - 1} \right)\].

Đường thẳng \[d\] có một VTCP là \[\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;1; - 2} \right)\].

\[\Delta  \bot d \Leftrightarrow \]\[\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {HK}  = 0\]\[ \Leftrightarrow m - t + 2 = 0 \Leftrightarrow m = t - 2 \Rightarrow \overrightarrow {HK}  = \left( { - t - 4;t - 2; - 3} \right).\]

Ta có\[H{K^2} = {\left( { - t - 4} \right)^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( { - 3} \right)^2} = 2{\left( {t + 1} \right)^2} + 27 \ge 27,\forall t \in \mathbb{R}\]

\[ \Rightarrow minHK = \sqrt {27} ,\]đạt được khi \[t =  - 1\].

Khi đó ta có \[\overrightarrow {HK}  = \left( { - 3; - 3; - 3} \right)\], suy ra \[\overrightarrow u \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow h = k = 1 \Rightarrow h - k = 0.\]

Lời giải

Đáp án: \[P = 0\]

Ta có \[d{\rm{//}}\Delta \].

Chọn \[A\left( {2;\, - 1;\,1} \right) \in \left( d \right),\,B\left( {3;\, - 2;\,1} \right) \in \left( \Delta  \right)\].

\[\overrightarrow {AB}  = \left( {1;\, - 1;\,0} \right)\]

Phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng \[\left( d \right)\] và \[\left( \Delta  \right)\] qua \[A\left( {2;\, - 1;\,1} \right)\] và có VTPT \[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} } \right] = \left( { - 2;\, - 2;\,4} \right) =  - 2\left( {1;\,1;\, - 2} \right)\] là:

\[1\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y + 1} \right) - 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2z + 1 = 0\].