Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3\,;\,1\,;\,2} \right)\), \(B\left( { - 3\,;\, - 1\,;\,0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 3z - 14 = 0\). Điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(\Delta MAB\) vuông tại \(M\). Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Đáp án: khoảng cách từ \(A\)đến mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) bằng \(3\).

Đường thẳng \(d:\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y + 7}}{2} = \frac{{z - 12}}{{ - 1}}\) có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow u  = \left( {2\,;\,2\,;\, - 1} \right)\].

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + 2y - 3z - 3 = 0\)có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n  = \left( {1\,;\,2\,;\, - 3} \right)\].

Ta có: \[\sin \left( {d\,;\,\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} \,.\,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|\,.\,\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|}} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{14}}\].

Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \(A\)lên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Khi đó tam giác \(\Delta MAH\) vuông tại \[H\] nên \[\sin \left( {d\,;\,\left( \alpha  \right)} \right) = \sin \widehat {AMH} = \frac{{AH}}{{AM}}\].

\[ \Rightarrow AH = AM\,.\,\sin \left( {d\,;\,\left( \alpha  \right)} \right) = 3\].

Vậy khoảng cách từ \(A\)đến mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) bằng \(3\).

Đáp án: \[h - k = 0\]

\[H \in {\Delta _1} \Leftrightarrow H\left( {3 + 2t;t;1 + t} \right)\].

\[K \in {\Delta _2} \Leftrightarrow K\left( {1 + m;2 + 2m;m} \right)\].

Ta có\[\overrightarrow {HK}  = \left( {m - 2t - 2;2m - t + 2;m - t - 1} \right)\].

Đường thẳng \[d\] có một VTCP là \[\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;1; - 2} \right)\].

\[\Delta  \bot d \Leftrightarrow \]\[\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {HK}  = 0\]\[ \Leftrightarrow m - t + 2 = 0 \Leftrightarrow m = t - 2 \Rightarrow \overrightarrow {HK}  = \left( { - t - 4;t - 2; - 3} \right).\]

Ta có\[H{K^2} = {\left( { - t - 4} \right)^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( { - 3} \right)^2} = 2{\left( {t + 1} \right)^2} + 27 \ge 27,\forall t \in \mathbb{R}\]

\[ \Rightarrow minHK = \sqrt {27} ,\]đạt được khi \[t =  - 1\].

Khi đó ta có \[\overrightarrow {HK}  = \left( { - 3; - 3; - 3} \right)\], suy ra \[\overrightarrow u \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow h = k = 1 \Rightarrow h - k = 0.\]