Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y + 7}}{2} = \frac{{z - 12}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + 2y - 3z - 3 = 0\). Gọi \(M\) là giao điểm của \(d\) và \(\left( \alpha  \right)\), \(A\) thuộc \(d\) sao cho \(AM = \sqrt {14} \). Tính khoảng cách từ \(A\)đến mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Trong không gian \[Oxyz\], phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng: \[\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = t + 2\\y = 3t - 1\\z = 2t + 1\end{array} \right.\] và \[\left( \Delta  \right):\left\{ \begin{array}{l}x = m + 3\\y = 3m - 2\\z = 2m + 1\end{array} \right.\] có dạng \[x + ay + bz + c = 0\]. Tính \[P = a + 2b + 3c\].

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3\,;\,1\,;\,2} \right)\), \(B\left( { - 3\,;\, - 1\,;\,0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 3z - 14 = 0\). Điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(\Delta MAB\) vuông tại \(M\). Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Trong không gian \[Oxyz\]cho ba đường thẳng \[d:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}},\]\[{\Delta _1}:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1},\]\[{\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{1}\]. Đường thẳng \[\Delta \]vuông góc với \[d\] đồng thời cắt \[{\Delta _1},{\Delta _2}\] tương ứng tại \[H,K\] sao cho độ dài \[HK\] nhỏ nhất. Biết rằng \[\Delta \] có một vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u \left( {h;k;1} \right).\] Tính giá trị \[h - k\].