Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y + 7}}{2} = \frac{{z - 12}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y - 3z - 3 = 0\). Gọi \(M\) là giao điểm của \(d\) và \(\left( \alpha \right)\), \(A\) thuộc \(d\) sao cho \(AM = \sqrt {14} \). Tính khoảng cách từ \(A\)đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y + 7}}{2} = \frac{{z - 12}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y - 3z - 3 = 0\). Gọi \(M\) là giao điểm của \(d\) và \(\left( \alpha \right)\), \(A\) thuộc \(d\) sao cho \(AM = \sqrt {14} \). Tính khoảng cách từ \(A\)đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: khoảng cách từ \(A\)đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng \(3\).
Đường thẳng \(d:\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y + 7}}{2} = \frac{{z - 12}}{{ - 1}}\) có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow u = \left( {2\,;\,2\,;\, - 1} \right)\].
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y - 3z - 3 = 0\)có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left( {1\,;\,2\,;\, - 3} \right)\].
Ta có: \[\sin \left( {d\,;\,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} \,.\,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|\,.\,\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|}} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{14}}\].
Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \(A\)lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Khi đó tam giác \(\Delta MAH\) vuông tại \[H\] nên \[\sin \left( {d\,;\,\left( \alpha \right)} \right) = \sin \widehat {AMH} = \frac{{AH}}{{AM}}\].
\[ \Rightarrow AH = AM\,.\,\sin \left( {d\,;\,\left( \alpha \right)} \right) = 3\].
Vậy khoảng cách từ \(A\)đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng \(3\).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án: \[h - k = 0\]
\[H \in {\Delta _1} \Leftrightarrow H\left( {3 + 2t;t;1 + t} \right)\].
\[K \in {\Delta _2} \Leftrightarrow K\left( {1 + m;2 + 2m;m} \right)\].
Ta có\[\overrightarrow {HK} = \left( {m - 2t - 2;2m - t + 2;m - t - 1} \right)\].
Đường thẳng \[d\] có một VTCP là \[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1; - 2} \right)\].
\[\Delta \bot d \Leftrightarrow \]\[\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {HK} = 0\]\[ \Leftrightarrow m - t + 2 = 0 \Leftrightarrow m = t - 2 \Rightarrow \overrightarrow {HK} = \left( { - t - 4;t - 2; - 3} \right).\]
Ta có\[H{K^2} = {\left( { - t - 4} \right)^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( { - 3} \right)^2} = 2{\left( {t + 1} \right)^2} + 27 \ge 27,\forall t \in \mathbb{R}\]
\[ \Rightarrow minHK = \sqrt {27} ,\]đạt được khi \[t = - 1\].
Khi đó ta có \[\overrightarrow {HK} = \left( { - 3; - 3; - 3} \right)\], suy ra \[\overrightarrow u \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow h = k = 1 \Rightarrow h - k = 0.\]
Lời giải
Đáp án: \(d\left( {M\,,\,\left( {Oxy} \right)} \right) = 4\)
Gọi \(M\left( {x\,;\,y\,;\,z} \right)\) là điểm cần tìm.
\(\overrightarrow {AM} = \left( {x - 3\,;\,y - 1\,;\,z - 2} \right)\), \(\overrightarrow {BM} = \left( {x + 3\,;\,y + 1\,;\,z} \right)\).
Vì \(\Delta MAB\) vuông tại \(M\) nên \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 1} \right)\left( {y + 1} \right) + z\left( {z - 2} \right) = 0\)
\[ \Leftrightarrow {x^2} - 9 + {y^2} - 1 + {z^2} - 2z = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 11\].
\( \Rightarrow M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \).
Nhận xét thấy \(d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 + 3.1 - 14} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^3}} }} = \sqrt {11} = R\).
\( \Rightarrow \left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại \(M\)
\( \Rightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(\left( P \right)\)
Vậy \(d\left( {M\,,\,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| 4 \right| = 4\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo