Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Cho biết A(0; 0; 0), B(1; 0; 0). D(0; 5; 0), A'(0; 0; 3). Tính góc giữa:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với \(O\) trùng với \(A\).

Ta có \({A^\prime }(0;0;3),B(1;0;0),A(0;0;0),C(1;5;0),{B^\prime }(1;0;3),D(0;5;0),{C^\prime }(1;5;3)\)

a) Đường thẳng AC nhận \(\overrightarrow {AC}  = (1;5;0)\) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\rm{B}}{{\rm{A}}^\prime }\) nhận \(\overrightarrow {B{A^\prime }}  = ( - 1;0;3)\) làm vectơ chỉ phương.

Khi đó \(\cos \left( {AC,B{A^\prime }} \right) = \frac{{|1.( - 1) + 5.0 + 0.3|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 1)}^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {65} }}\). Suy ra  $\left(AC,B{A}^{\text{'}}\right)\approx {\mathrm{86,44}}^{°}$.

b) Ta có \(\overrightarrow {B{B^\prime }}  = (0;0;3),\overrightarrow {BD}  = ( - 1;5;0),\overrightarrow {AC}  = (1;5;0),\overrightarrow {A{A^\prime }}  = (0;0;3)\)

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {B{B^\prime }} ,\overrightarrow {BD} } \right] = ( - 15; - 3;0),\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A{A^\prime }} } \right] = (15; - 3;0)\).

Mặt phẳng (BB'D'D) nhận \(\vec n =  - \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {B{B^\prime }} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (5;1;0)\) làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (AA'C'C) nhận \(\overrightarrow {{n^\prime }}  = \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A{A^\prime }} } \right] = (5; - 1;0)\) làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó \(\cos \left( {\left( {B{B^\prime }{D^\prime }D} \right),\left( {A{A^\prime }{C^\prime }C} \right)} \right) = \frac{{|5 \cdot 5 + 1 \cdot ( - 1) + 0.0|}}{{\sqrt {{5^2} + 1}  \cdot \sqrt {{5^2} + 1} }} = \frac{{24}}{{26}} = \frac{{12}}{{13}}\).

c) Ta có \(\overrightarrow {A{C^\prime }}  = (1;5;3),\quad \overrightarrow {{A^\prime }B}  = (1;0; - 3),\overrightarrow {{A^\prime }D}  = (0;5; - 3)\), \(\left[ {\overrightarrow {{A^\prime }B} ,\overrightarrow {{A^\prime }D} } \right] = (15;3;5)\).

Đường thẳng AC ' nhận \(\overrightarrow {A{C^\prime }}  = (1;5;3)\) làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (A'BD) nhận \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {{A^\prime }B} ,\overrightarrow {{A^\prime }D} } \right] = (15;3;5)\) làm vectơ pháp tuyến.