Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng \(OBC.{O^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) với \(O(0;0;0)\), \(B(2a;0;0),C(0;a;0),{O^\prime }(0;0;3a),a > 0\).

a) Xác định tọa độ của điểm \({B^\prime }\).

b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\).

c) Tính sin của góc giữa đường thẳng \({B^\prime }C\) và mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right.\) ).

Trong không gian Oxyz, ta có \(C(2;3;0),\overrightarrow {SC}  = (2;3; - 2)\); \(\overline {BD}  = ( - 2;3;0)\).

a) Hai đường thằng SC và BD có vectơ chi phương lần lượt là \(\vec u = (2;3; - 2),\vec v = ( - 2;3;0)\).

Ta có \(\cos (SC,BD) = \frac{{|\vec u \cdot \vec v|}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \frac{{|2 \cdot ( - 2) + 3 \cdot 3 + ( - 2) \cdot 0|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {3^2} + {0^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {221} }}\).

Suy ra $(SC,BD)\approx {70}^{°}{21}^{\text{'}}$.

b) Ta có phương trình mặt phẳng \((SBD)\) theo đoạn chắn là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1\) hay \(3x + 2y + 3z - 6 = 0\).

Mặt phẳng \((SBD)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (3;2;3)\), mặt đáy \((ABCD)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec k = (0;0;1)\). Gọi \(\alpha \) là góc giũua mặt phẳng \((SBD)\) và mặt đáy.

Ta có \(\cos \alpha  = \frac{{|\vec n \cdot \vec k|}}{{|\vec n| \cdot |\vec k|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {22} }}\). Suy ra $\left(\right(SBD),(ABCD\left)\right)\approx {50}^{°}{14}^{\text{'}}$.

c) Gọi \(\beta \) là góc giũa đường thẳng SC và mặt phẳng \((SBD)\).

Ta có \(\sin \beta  = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + ( - 2) \cdot 3|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {374} }}\). Suy ra $(SC,(SBD\left)\right)\approx {18}^{°}{4}^{\text{'}}$.

a) Ta có: \(\overrightarrow {SA}  = \left( {\frac{a}{2};0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {CD}  = (a;0;0)\).

Các vectơ \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {CD} \) lần lượt là vectơ chí phương của hai đường thắng $S A$ và CD nên \(\cos (SA,CD) = \frac{{\left| {\frac{a}{2} \cdot a + 0 \cdot 0 + \left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{a^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{a \cdot a}} = \frac{1}{2}({\rm{ do }}a > 0).\) Suy ra $(SA,CD)={60}^{°}$.

b) Ta có \(\overrightarrow {AC}  = ( - a;a;0)\).

Xét vecto \([\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}\\a&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}&{\frac{a}{2}}\\0&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{2}}&0\\{ - a}&a\end{array}} \right|} \right)\) \( = \left( {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2};\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2};\frac{{{a^2}}}{2}} \right)\).

Khi đó, \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC).

Đường thẳng SD có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {SD}  = \left( {\frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

\({\rm{ Ta có }}\sin (SD,(SAC)) = \frac{{\left| {\frac{a}{2} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + a \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + \left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) \cdot \frac{{{a^2}}}{2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2} + {{\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{{\left( {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right)}^2}} }}\)

\( = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 2  \cdot {a^2}\frac{{\sqrt 7 }}{2}}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}}.\) Suy ra $(SD,(SAC\left)\right)\approx {28}^{°}$.