Trong không gian vởi hệ tộ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có các đỉnh lần lượt là S(0; 0; a√3/2); A(a/2; 0; 0), B(-a/2; 0; 0), C(-a/2;a; 0), D(a/2; a; 0)với a > 0 Hình 36).

a) Ta có: \(\overrightarrow {SA}  = \left( {\frac{a}{2};0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {CD}  = (a;0;0)\).

Các vectơ \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {CD} \) lần lượt là vectơ chí phương của hai đường thắng $S A$ và CD nên \(\cos (SA,CD) = \frac{{\left| {\frac{a}{2} \cdot a + 0 \cdot 0 + \left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{a^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{a \cdot a}} = \frac{1}{2}({\rm{ do }}a > 0).\) Suy ra $(SA,CD)={60}^{°}$.

b) Ta có \(\overrightarrow {AC}  = ( - a;a;0)\).

Xét vecto \([\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}\\a&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}&{\frac{a}{2}}\\0&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{2}}&0\\{ - a}&a\end{array}} \right|} \right)\) \( = \left( {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2};\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2};\frac{{{a^2}}}{2}} \right)\).

Khi đó, \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC).

Đường thẳng SD có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {SD}  = \left( {\frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

\({\rm{ Ta có }}\sin (SD,(SAC)) = \frac{{\left| {\frac{a}{2} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + a \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + \left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) \cdot \frac{{{a^2}}}{2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2} + {{\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{{\left( {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right)}^2}} }}\)

\( = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 2  \cdot {a^2}\frac{{\sqrt 7 }}{2}}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}}.\) Suy ra $(SD,(SAC\left)\right)\approx {28}^{°}$.