Tính góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

a) ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = - 1 + {t_1}}\\{y = 4 + \sqrt 3 {t_1}}\\{z = 0}\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = - 1 + \sqrt 3 {t_2}}\\{y = 4 + {t_2}}\\{z = 5}\end{array}\quad \left( {{t_1},{t_2}} \right.} \right.$ là tham số);

b) ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 3 + t}\\{z = 4 - t}\end{array}} \right.$ ( $t$ là tham số) và ${\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}$;

c) ${\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{1}$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có lời giải) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Hai đường thắng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có vectơ chí phương lằn lượt là $\overrightarrow {{u_1}} = (1;\sqrt 3 ;0),\overrightarrow {{u_2}} = (\sqrt 3 ;1;0)$.

Ta có: $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{|1 \cdot \sqrt 3 + \sqrt 3 \cdot 1 + 0 \cdot 0|}}{{\sqrt {{1^2} + {{(\sqrt 3 )}^2} + {0^2}} \cdot \sqrt {{{(\sqrt 3 )}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. Suy ra $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 30^{°}$ .

b) Hai đường thắng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có vectơ chí phương lằn lượt là $\overrightarrow {{u_1}} = (2;1; - 1),\overrightarrow {{u_2}} = (3;1; - 2)$.

Ta có: $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{|2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 + ( - 1) \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{9}{{\sqrt 6 \cdot \sqrt {14} }} = \frac{{3\sqrt {21} }}{{14}}$. Suy ra $(Δ_{1}, Δ_{2}) \approx 11^{°}$ .

c) Hai đường thắng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có vectơ chí phương lần lượt là $\overrightarrow {{u_1}} = (1;1; - 1)$ và $\overrightarrow {{u_2}} = ( - 1;3;1)$.

Ta có: $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{|1 \cdot ( - 1) + 1 \cdot 3 + ( - 1) \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{{( - 1)}^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 \cdot \sqrt {11} }} = \frac{{\sqrt {33} }}{{33}}$. Suy ra $(Δ_{1}, Δ_{2}) \approx 80^{°}$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và $SA \bot (ABCD)$. Cho biết $A(0;0;0),B(2;0;0),D(0;3;0),S(0;0;2)$.

Tính góc giũa:

a) hai đường thằng SC và BD.

b) mặt phẳng (SBD) và mặt đáy;

c) đường thẳng SC và mặt phẳng $(SBD)$.

Xem đáp án

Lời giải

Trong không gian Oxyz, ta có $C(2;3;0),\overrightarrow {SC} = (2;3; - 2)$; $\overline {BD} = ( - 2;3;0)$.

a) Hai đường thằng SC và BD có vectơ chi phương lần lượt là $\vec u = (2;3; - 2),\vec v = ( - 2;3;0)$.

Ta có $\cos (SC,BD) = \frac{{|\vec u \cdot \vec v|}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \frac{{|2 \cdot ( - 2) + 3 \cdot 3 + ( - 2) \cdot 0|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {3^2} + {0^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {221} }}$.

Suy ra $(S C, B D) \approx 70^{°} 21^{'}$ .

b) Ta có phương trình mặt phẳng $(SBD)$ theo đoạn chắn là $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1$ hay $3x + 2y + 3z - 6 = 0$.

Mặt phẳng $(SBD)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (3;2;3)$, mặt đáy $(ABCD)$ có vectơ pháp tuyến $\vec k = (0;0;1)$. Gọi $\alpha $ là góc giũua mặt phẳng $(SBD)$ và mặt đáy.

Ta có $\cos \alpha = \frac{{|\vec n \cdot \vec k|}}{{|\vec n| \cdot |\vec k|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {22} }}$. Suy ra $((S B D), (A B C D)) \approx 50^{°} 14^{'}$ .

c) Gọi $\beta $ là góc giũa đường thẳng SC và mặt phẳng $(SBD)$.

Ta có $\sin \beta = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + ( - 2) \cdot 3|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {374} }}$. Suy ra $(S C, (S B D)) \approx 18^{°} 4^{'}$ .

Câu 2

Trong không gian vởi hệ tộ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có các đỉnh lần lượt là

$S\left( {0;0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),A\left( {\frac{a}{2};0;0} \right),B\left( { - \frac{a}{2};0;0} \right),C\left( { - \frac{a}{2};a;0} \right),D\left( {\frac{a}{2};a;0} \right)$ với $a > 0($ Hình 36).

a) Xác định toạ độ của các vectơ $\overrightarrow {SA} $, $\overrightarrow {CD} $. Từ đó tính góc giữa hai đường thẳng SA và CD (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

b) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$. Từ đó tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng $(SAC)$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: $\overrightarrow {SA} = \left( {\frac{a}{2};0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {CD} = (a;0;0)$.

Các vectơ $\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {CD} $ lần lượt là vectơ chí phương của hai đường thắng $S A$ và CD nên $\cos (SA,CD) = \frac{{\left| {\frac{a}{2} \cdot a + 0 \cdot 0 + \left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{a^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{a \cdot a}} = \frac{1}{2}({\rm{ do }}a > 0).$ Suy ra $(S A, C D) = 60^{°}$ .

b) Ta có $\overrightarrow {AC} = ( - a;a;0)$.

Xét vecto $[\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}\\a&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}&{\frac{a}{2}}\\0&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{2}}&0\\{ - a}&a\end{array}} \right|} \right)$ $ = \left( {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2};\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2};\frac{{{a^2}}}{2}} \right)$.

Khi đó, $\vec n$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC).

Đường thẳng SD có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {SD} = \left( {\frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)$.

${\rm{ Ta có }}\sin (SD,(SAC)) = \frac{{\left| {\frac{a}{2} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + a \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + \left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) \cdot \frac{{{a^2}}}{2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2} + {{\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right)}^2}} }}$

$ = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 2 \cdot {a^2}\frac{{\sqrt 7 }}{2}}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}}.$ Suy ra $(S D, (S A C)) \approx 28^{°}$ .

Câu 3