Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a\),\(AC = a\sqrt 3 \). Hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(BC\), \(A'H = a\sqrt 5 \). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(A'B\) và \(B'C\). Tính \(\cos \varphi \) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a\),\(AC = a\sqrt 3 \). Hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(BC\), \(A'H = a\sqrt 5 \). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(A'B\) và \(B'C\). Tính \(\cos \varphi \) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với \(O \equiv A\) như hình vẽ, chọn \(a = 1\) đơn vị, khi đó ta có tọa độ điểm \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(C\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)\) suy ra trung điểm của \(BC\) là \(H\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)\), vì \(H\) là hình chiếu của \(A'\) nên suy ra tọa độ của \(A'\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};\sqrt 5 } \right)\). Ta tìm tọa độ \(B'\), gọi tọa độ \(B'\left( {x;y;z} \right)\) khi đó ta có \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {OB} \) nên tọa độ \(B'\left( {\frac{3}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};\sqrt 5 } \right)\). Ta cũng có \(\overrightarrow {B'C} = \left( { - \frac{3}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \sqrt 5 } \right)\) và \(\overrightarrow {A'B} = \left( {\frac{1}{2}; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \sqrt 5 } \right)\). Từ đó ta có \(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {B'C} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {A'B} } \right|.\left| {\overrightarrow {B'C} } \right|}}\) \( = \frac{7}{{2.\sqrt 6 .\sqrt 8 }} = \frac{{7\sqrt 3 }}{{24}}\).
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên \(A'C'\) là hình chiếu vuông góc của \(A'C\) trên
Ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 3 ;\tan \widehat {CA'C'} = \frac{{CC'}}{{A'C'}} \Rightarrow CC' = a.\)
Kết hợp với giả thiết ta được \(ABB'A'\) là hình vuông và có \(H\) là tâm.
Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(K\) trên \(A'D'\& A'A.\)
Ta có \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt 6 }}{3};\)\(A'K = \sqrt {A'{A^2} - A{K^2}} = \frac{a}{{\sqrt 3 }};\)
\(\frac{1}{{K{F^2}}} = \frac{1}{{K{A^2}}} + \frac{1}{{A'{K^2}}} \Rightarrow KF = \frac{{a\sqrt 2 }}{3};KE = \sqrt {A'{K^2} - K{F^2}} \Rightarrow KE = \frac{a}{3}.\)
Ta chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) thỏa mãn \(O \equiv A'\) còn \(D',{\rm{ }}B',{\rm{ }}A\) theo thứ tự thuộc các tia \(Ox,{\rm{ }}Oy,{\rm{ }}Oz.\) Khi đó ta có tọa độ các điểm lần lượt là:
\(A(0;0;a),B'(0;a;0),H(0;\frac{a}{2};\frac{a}{2}),K(\frac{{a\sqrt 2 }}{3};0;\frac{a}{3}),E(\frac{{a\sqrt 2 }}{3};0;0),F(0;0;\frac{{a\sqrt 2 }}{3}).\)
Mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) là mặt phẳng \((yOz)\) nên có VTPT là \({\overrightarrow n _1} = (1;0;0);\)
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AK} ,\overrightarrow {AH} } \right] = \frac{{{a^2}}}{6}{\overrightarrow n _2},{\rm{ }}{\overrightarrow n _2}(2;\sqrt 2 ;\sqrt 2 ).\)
Mặt phẳng \((AKH)\)có VTPT là \({\overrightarrow n _2} = (2;\sqrt 2 ;\sqrt 2 );\)
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng\(\left( {AHK} \right)\) và \(\left( {ABB'A'} \right)\).
Ta cóLời giải
Gọi \(O\) là trung điểm \(BC\).
Ta có: vàTheo đề bài:
Coi \(a = 1\).
Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\)như hình vẽ với \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \(A\left( {0;\,\frac{1}{2};\,0} \right)\), \(B\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,0} \right)\), \(C\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,0} \right)\), \(B'\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,1} \right)\), \(M\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,\frac{3}{2}} \right)\).
Khi đó \(\left( {ABC} \right) \equiv \left( {Oxy} \right):z = 0 \Rightarrow \left( {ABC} \right)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;\,0;\,1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB'} = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\, - \frac{1}{2};\,1} \right)\), \(\overrightarrow {AM} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\, - \frac{1}{2};\,\frac{3}{2}} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( {AB'M} \right)}}} = 4\left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AM} } \right] = \left( {1;\,5\sqrt 3 ;\,2\sqrt 3 } \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {AB'M} \right)\).
Vậy \[{\rm{cos}}\alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow {{n_{\left( {AB'M} \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( {AB'M} \right)}}} } \right|}} = \frac{{\left| {2\sqrt 3 } \right|}}{{1.2\sqrt {22} }} = \sqrt {\frac{3}{{22}}} \Rightarrow {\rm{sin}}\alpha = \sqrt {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } = \sqrt {\frac{{19}}{{22}}} = \frac{{\sqrt {418} }}{{22}}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo