Tính giá trị của đa thức \(N = 3{x^4} + 5{x^2}{y^2} + 2{y^4} + 2{y^2}\) biết rằng \({x^2} + {y^2} = 2.\)

Đáp án: \(0\)

Ta có: \(P = xyz + {x^2}{y^2}{z^2} + {x^3}{y^3}{z^3} + ... + {x^{2019}}{y^{2019}}{z^{2019}} + {x^{2020}}{y^{2020}}{z^{2020}}\).

Thay \(x = 1;y = 1;z =  - 1,\) ta được:

\(P = 1.1.\left( { - 1} \right) + {1^2}{.1^2}.{\left( { - 1} \right)^2} + {1^3}{.1^3}.{\left( { - 1} \right)^3} + ... + {1^{2019}}{.1^{2019}}.{\left( { - 1} \right)^{2019}} + {1^{2020}}{.1^{2020}}.{\left( { - 1} \right)^{2020}}\)

\(P =  - 1 + 1 + \left( { - 1} \right) + ... + \left( { - 1} \right) + 1\)

Nhận thấy đa thức \(P\) chứa 2020 hạng tử, trong đó có \(1010\) hạng tử mũ chẵn và \(1010\) hạng tử mũ lẻ.

Do đó, \(P =  - 1 + 1 + \left( { - 1} \right) + ... + \left( { - 1} \right) + 1\) có 1010 số hạng \( - 1\) và 1010 số hạng 1.

Suy ra \(P =  - 1 + 1 + \left( { - 1} \right) + ... + \left( { - 1} \right) + 1 =  - 1.1010 + 1.1010 =  - 1010 + 1010 = 0\).

Vậy với \(x = 1;y = 1;z =  - 1\) thì \(P = 0.\)

Đáp án đúng là: D

Cách 1.

Diện tích phần mảnh đất hình chữ nhật \(ABCD\) là: \(3x \cdot 3y = 9xy{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích phần mảnh đất hình chữ nhật \(EFGC\) là: \(4x \cdot y = 4xy{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Vậy diện tích phần mảnh đất đã cho là: \(9xy + 4xy = 13xy{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Cách 2.

Chiều dài của hình chữ nhật \(HFGD\)là: \(3y + y = 4y{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Diện tích hình chữ nhật \(HFGD\) là: \(4x \cdot 4y = 16xy{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Chiều rộng của mảnh đất \(HEBA\) là: \(4x - 3x = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Diện tích hình chữ nhật \(HEBA\) là: \(x \cdot 3y = 3xy{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích của mảnh đất đã cho là: \(16xy - 3xy = 13xy{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)