Cho biểu thức \(A = {x^4} - 2{x^2}y - {x^2} + {y^2} + y\) biết \({x^2} - y = 6\). Tính giá trị của biểu thức \(A\).

Biết rằng, tồn tại các số dương \(a,b\) thỏa mãn: \({a^3} + {b^3} + 8 = 6ab\). Tính giá trị \(a - b\).

Một mảnh vườn hình vuông có độ dài cạnh bằng \(x\) (mét). Người ta làm đường đi xung quanh mảnh vườn, có độ rộng như nhau và bằng \(y\) (mét).

         a) Diện tích của cả mảnh vườn là \({x^2}\) (m2).

         b) Diện tích phần đất không làm lối đi là \({y^2}\) (m2).

         c) Diện tích phần đất làm đường đi là \(S = {x^2} - 2{y^2}\) (m2).

         d) Diện tích phần đất làm đường lớn hơn 2 000 m2 khi \(x = 48{\rm{ m}}{\rm{, }}y = 2{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Một thử ruộng hình chữ nhật có chiều dài bằng \(20{\rm{ m}}\), chiều rộng bằng \(\frac{1}{2}\) chiều dài. Nếu giảm chiều dài đi \(x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) và tăng chiều rộng thêm \(x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

         a) Chiều rộng ban đầu của thửa ruộng là \(10{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

         b) Diện tích của thửa ruộng sau khi thay đổi chiều dài, chiều rộng là \(\left( {20 - x} \right)\left( {10 + x} \right){\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

         c) Sau khi giảm chiều dài đi \(x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) và tăng chiều rộng thêm \(x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) thì diện tích thửa ruộng không thể vượt quá \(225{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

         d) Diện tích thửa ruộng sau khi thay đổi đạt giá trị lớn nhất khi \(x = 2{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).\)

Bác An gửi tiết kiệm với số tiền 400 triệu đồng vào một ngân hàng, kì hạn 12 tháng và theo thể thức lãi kép (nghĩa là nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào làm vốn ban đầu để tính lãi cho năm tiếp theo). Giả sử lãi xuất cố định là \(x\% \)/năm, \(x > 0\). Biết rằng sau 2 năm gửi tiết kiệm, bác An nhận được số tiền gồm cả gốc lần lãi là \(449,44\) triệu đồng.

         a) Số tiền cả gốc lần lãi của bác An sau năm thứ nhất là \(400 + 4x\) (triệu đồng).

         b) Sau năm thứ hai thì số tiền cả gốc và lãi bác An có là \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + 8x + 400\) (triệu đồng).

         c) Vì sau hai năm gửi tiết kiệm, bác An nhận được số tiền gồm cả gốc lần lãi là \(449,44\) triệu đồng nên ta có \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + 8x + 400 = 449,44\) (triệu đồng).

         d) Lãi suất cố định mà bác An gửi nhỏ hơn \(5\% \).

Cho \({\left( {x + y} \right)^3} - {\left( {x - y} \right)^3} = A \cdot y \cdot \left( {B{x^2} + C{y^2}} \right),\) biết \(A,B,C\) là các số nguyên tố. Khi đó \(A + B + C\) bằng bao nhiêu?