Một tàu du lịch đi từ Hải Phòng tới Thái Bình, sau đó nó nghỉ lại tại Thái Bình  2 giờ trước khi quay trở lại Hải Phòng. Quãng đường từ Hải Phòng tới Thái Bình là 70 km. Vận tốc của dòng nước là 5 km/h. Gọi vận tốc thực của tàu là \(x\) km/h.

         a) Thời gian tàu đi ngược dòng từ Hải Phòng tới Thái Bình là \(\frac{{70}}{{x - 5}}\) giờ.

         b) Thời gian tàu đi xuôi dòng từ Thái Bình tới Hải Phòng là \(\frac{{70}}{{x + 5}}\) giờ.

         c) Thời gian kể từ lúc tàu xuất phát đến khi tàu quay trở về Hải Phòng là \(\frac{{70}}{{x - 5}} + \frac{{70}}{{x + 5}}\) giờ.

         d) Nếu vận tốc ngược dòng của tàu là 20 km/h thì thời gian kể từ lúc tàu xuất phát đến khi tàu về tới Hải Phòng là 7 giờ 50 phút.

a) Đúng

 Thời gian tàu chạy qua vùng rừng núi là \(\frac{{450}}{x}\) (giờ).

b) Đúng

Tốc độ của tàu khi chạy qua thành phố là \(x - 30\) (km/h).

Phân thức biểu thị thời gian tàu chạy qua thành phố là \(\frac{{50}}{{x - 30}}\) giờ.

c) Sai

Thời gian tàu chạy trên cả quãng đường là \(\frac{{450}}{x} + \frac{{50}}{{x - 30}} = \frac{{450\left( {x - 30} \right) + 50x}}{{x\left( {x - 30} \right)}} = \frac{{500x - 13500}}{{x\left( {x - 30} \right)}}\) giờ.

d) Sai

Khi tàu chạy qua rừng núi với tốc độ 50 km/h thì thời gian tàu chạy trên cả quãng đường là:

\(\frac{{500 \cdot 50 - 13{\rm{ }}500}}{{50\left( {50 - 30} \right)}} = \frac{{23}}{2} = 11,5\) giờ.

Đáp án: 1

Ta có: \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)

\({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right) = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)

Suy ra \(2\left( {ab + bc + ac} \right) = 0\) hay \(ab + bc + ac = 0\).

Xét \({a^2} + 2bc = {a^2} + 2bc - ab - bc - ca = {a^2} - ab - ca + bc = \left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\).

Tương tự ta có \({b^2} + 2ac = \left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right);{\rm{ }}{c^2} + 2ab = \left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)\).

Do đó, ta có: \(P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}\)

                     \( = \frac{{{a^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{{b^2}}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{{c^2}}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)

                     \( =  - \frac{{{a^2}\left( {b - c} \right) + {b^2}\left( {c - a} \right) + {c^2}\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

                    \( =  - \frac{{{a^2}b - {a^2}c + {b^2}c - {b^2}a + {c^2}a - {c^2}b}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

                    \( =  - \frac{{ab\left( {a - b} \right) - \left( {{a^2} - {b^2}} \right)c + {c^2}\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

                   \( =  - \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {ab - ac - bc + {c^2}} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

                   \( =  - \frac{{\left( {a - b} \right)\left[ {a\left( {b - c} \right) - c\left( {b - c} \right)} \right]}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

                   \( =  - \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

                    \( = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}} = 1\).