Cho \(3y - x = 6.\) Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}.\)

Đáp án: 12

Ta có: \(C = \left( {{a^2} - 2} \right)\left( {{a^2} + a - 1} \right) - \left( {{a^2} + a} \right)\left( {{a^2} - 3} \right) - a + 10\)

\(C = {a^4} + {a^3} - {a^2} - 2{a^2} - 2a + 2 - {a^4} + 3{a^2} - {a^3} + 3a - a + 10\)

\(C = \left( {{a^4} - {a^4}} \right) + \left( {{a^3} - {a^3}} \right) + \left( { - {a^2} - 2{a^2} + 3{a^2}} \right) + \left( { - 2a + 3a - a} \right) + 10 + 2\)

\(C = 12\).

Đáp án: 2,3

Ta có: \(A = \frac{{2{x^2} + 4x + 9}}{{{x^2} + 2x + 4}} = \frac{{2\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) + 1}}{{{x^2} + 2x + 4}} = 2 + \frac{1}{{{x^2} + 2x + 4}} = 2 + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3}}\).

Nhận thấy \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \({\left( {x + 1} \right)^2} + 3 \ge 3\), do đó \(\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3}} \le \frac{1}{3}\).

Suy ra \(2 + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3}} \le 2 + \frac{1}{3}\) hay \(A \le \frac{7}{3}\).

Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x + 1} \right)^2} = 0\) hay \(x =  - 1\).

Vậy GTLN của \(A = \frac{7}{3} \approx 2,3\) khi \(x =  - 1\).