Cho \(3y - x = 6.\) Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}.\)

Đáp án: 12

Ta có: \(C = \left( {{a^2} - 2} \right)\left( {{a^2} + a - 1} \right) - \left( {{a^2} + a} \right)\left( {{a^2} - 3} \right) - a + 10\)

\(C = {a^4} + {a^3} - {a^2} - 2{a^2} - 2a + 2 - {a^4} + 3{a^2} - {a^3} + 3a - a + 10\)

\(C = \left( {{a^4} - {a^4}} \right) + \left( {{a^3} - {a^3}} \right) + \left( { - {a^2} - 2{a^2} + 3{a^2}} \right) + \left( { - 2a + 3a - a} \right) + 10 + 2\)

\(C = 12\).

Đáp án: \(0,5\)

Ta có: \(A = {x^3} + {y^3} + xy = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) + xy = {x^2} - xy + {y^2} + xy = {x^2} + {y^2}\) (do \(x + y = 1\)).

Vì \(x + y = 1\) nên \(y = 1 - x\), thay vào \(A\) ta được:

\(A = {x^2} + {\left( {1 - x} \right)^2} = {x^2} + {x^2} - 2x + 1 = 2\left( {{x^2} - x} \right) + 1 = 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2}\) hay \(A \ge 0,5.\)

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(A = 0,5\) khi \(x = \frac{1}{2},y = \frac{1}{2}.\)