Để hoàn thành 90 sản phẩm trong một số ngày theo kế hoạch, mỗi ngày một công nhân phải hoàn thành \(x\) sản phẩm. Thực tế mỗi ngày người công nhân vượt mức kế hoạch là 5 sản phẩm và hoàn thành sớm hơn kế hoạch 3 ngày

         a) Thời gian công nhân hoàn thành 90 sản phẩm theo kế hoạch là \(\frac{{90}}{x}\) ngày.

         b) Thời gian công nhân hoàn thành 90 sản phẩm trong thực tế là \(\frac{{90}}{{x - 5}}\) ngày.

         c) Vì người công nhân hoàn thành 90 sản phẩm sớm hơn kế hoạch 3 ngày nên \(\frac{{90}}{x} - \frac{{90}}{{x - 5}} = 3\).

         d) Thực tế, công nhân đã hoàn thành 90 sản phẩm trong 7 ngày.

Đáp án: 2,3

Ta có: \(A = \frac{{2{x^2} + 4x + 9}}{{{x^2} + 2x + 4}} = \frac{{2\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) + 1}}{{{x^2} + 2x + 4}} = 2 + \frac{1}{{{x^2} + 2x + 4}} = 2 + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3}}\).

Nhận thấy \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \({\left( {x + 1} \right)^2} + 3 \ge 3\), do đó \(\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3}} \le \frac{1}{3}\).

Suy ra \(2 + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3}} \le 2 + \frac{1}{3}\) hay \(A \le \frac{7}{3}\).

Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x + 1} \right)^2} = 0\) hay \(x =  - 1\).

Vậy GTLN của \(A = \frac{7}{3} \approx 2,3\) khi \(x =  - 1\).

Đáp án: \(0,5\)

Ta có: \(A = {x^3} + {y^3} + xy = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) + xy = {x^2} - xy + {y^2} + xy = {x^2} + {y^2}\) (do \(x + y = 1\)).

Vì \(x + y = 1\) nên \(y = 1 - x\), thay vào \(A\) ta được:

\(A = {x^2} + {\left( {1 - x} \right)^2} = {x^2} + {x^2} - 2x + 1 = 2\left( {{x^2} - x} \right) + 1 = 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2}\) hay \(A \ge 0,5.\)

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(A = 0,5\) khi \(x = \frac{1}{2},y = \frac{1}{2}.\)