khoahoc.vietjack.com
Giảm 50% Kích hoạt VIP
khoahoc.vietjack.com
Kích hoạt VIP Đăng nhập
Tạo VIP
  2. Lớp 12
  3. Toán

Câu hỏi:

19/08/2025 2,026 Lưu

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và \(SA \bot (ABCD)\). Cho biết \(A(0;0;0),B(2;0;0),D(0;3;0),S(0;0;2)\).

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc ABCD (ảnh 1)

Tính góc giũa:

a) hai đường thằng SC và BD.

b) mặt phẳng (SBD) và mặt đáy;

c) đường thẳng SC và mặt phẳng \((SBD)\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 42 bài tập Góc giữa 2 đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng (có lời giải) !!

Flashcard Bắt Đầu Thi Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Trong không gian Oxyz, ta có \(C(2;3;0),\overrightarrow {SC}  = (2;3; - 2)\); \(\overline {BD}  = ( - 2;3;0)\).

a) Hai đường thằng SC và BD có vectơ chi phương lần lượt là \(\vec u = (2;3; - 2),\vec v = ( - 2;3;0)\).

Ta có \(\cos (SC,BD) = \frac{{|\vec u \cdot \vec v|}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \frac{{|2 \cdot ( - 2) + 3 \cdot 3 + ( - 2) \cdot 0|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {3^2} + {0^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {221} }}\).

Suy ra (SC,BD)≈70°21'

b) Ta có phương trình mặt phẳng \((SBD)\) theo đoạn chắn là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1\) hay \(3x + 2y + 3z - 6 = 0\).

Mặt phẳng \((SBD)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (3;2;3)\), mặt đáy \((ABCD)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec k = (0;0;1)\). Gọi \(\alpha \) là góc giũua mặt phẳng \((SBD)\) và mặt đáy.

Ta có \(\cos \alpha  = \frac{{|\vec n \cdot \vec k|}}{{|\vec n| \cdot |\vec k|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {22} }}\). Suy ra ((SBD),(ABCD))≈50°14'

c) Gọi \(\beta \) là góc giũa đường thẳng SC và mặt phẳng \((SBD)\).

Ta có \(\sin \beta  = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + ( - 2) \cdot 3|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {374} }}\). Suy ra (SC,(SBD))≈18°4'

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

  • Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
  • Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
  • Đăng ký ngay
Avatar

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng \(OBC.{O^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) với \(O(0;0;0)\), \(B(2a;0;0),C(0;a;0),{O^\prime }(0;0;3a),a > 0\).

a) Xác định tọa độ của điểm \({B^\prime }\).

b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\).

c) Tính sin của góc giữa đường thẳng \({B^\prime }C\) và mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right.\) ).

Lời giải

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC.O'B'C' với O(0; 0; 0), B(2a; 0; 0), C(0; a; 0), O'(0; 0; 3a), a > 0 (ảnh 1)

a) Ta có: \(\overrightarrow {B{B^\prime }}  = \overrightarrow {O{O^\prime }}  = (0;0;3a)\). Suy ra \({x_{{B^\prime }}} = {x_B} = 2a\), \({y_{{B^\prime }}} = {y_B} = 0,{z_{{B^\prime }}} - 0 = 3a\), tức là \({B^\prime }(2a;0;3a)\).

b) Vì \(B(2a;0;0),C(0;a;0),{O^\prime }(0;0;3a)\) nên mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\) có phương trình là

\(\frac{x}{{2a}} + \frac{y}{a} + \frac{z}{{3a}} = 1 \Leftrightarrow 3x + 6y + 2z - 6a = 0.\)

c) Mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (3;6;2)\).

Do \({B^\prime }(2a;0;3a),C(0;a;0)\) nên \(\overrightarrow {{B^\prime }C}  = ( - 2a;a; - 3a)\), suy ra vectơ \(\overrightarrow {{B^\prime }C}  = ( - 2a;a; - 3a)\) cùng phương với vectơ \(\vec u = ( - 2;1; - 3)\). Vì thế vectơ \(\vec u = ( - 2;1; - 3)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({B^\prime }C\). Suy ra sin của góc giữa đường thẳng \({B^\prime }C\) và mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\) bằng:

\(\frac{{|3 \cdot ( - 2) + 6 \cdot 1 + 2 \cdot ( - 3)|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{6}{{7\sqrt {14} }} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{49}}{\rm{. }}\)

Câu 2

Trong không gian vởi hệ tộ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có các đỉnh lần lượt là \(S\left( {0;0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),A\left( {\frac{a}{2};0;0} \right),B\left( { - \frac{a}{2};0;0} \right),C\left( { - \frac{a}{2};a;0} \right),D\left( {\frac{a}{2};a;0} \right)\) với \(a > 0(\) Hình 36).

Trong không gian vởi hệ tộ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có các đỉnh lần lượt là S(0; 0; a√3/2), A(a/2; 0; 0), B(-a/2; 0; 0), C(-a/2; a; 0), D(a/2; a; 0) (ảnh 1)

a) Xác định toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {SA} \), \(\overrightarrow {CD} \). Từ đó tính góc giữa hai đường thẳng SA và CD (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

b) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAC)\). Từ đó tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng \((SAC)\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Lời giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {SA}  = \left( {\frac{a}{2};0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {CD}  = (a;0;0)\).

Các vectơ \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {CD} \) lần lượt là vectơ chí phương của hai đường thắng SA và CD nên cos(SA,CD)=a2⋅a+0⋅0+−a32⋅0a22+02+−a322⋅a2+02+02=a22a⋅a=12( do a>0).

Suy ra (SA,CD)=60°

b) Ta có AC→=(−a;a;0) .

Xét vecto [SA→,AC→]=0−a32a0;−a32a20−a;a20−aa =a232;a232;a22

Khi đó, \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC).

Đường thẳng SD có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {SD}  = \left( {\frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

 Ta có sin(SD,(SAC))=a2⋅a232+a⋅a232+−a32⋅a22a22+a2+−a322⋅a2322+a2322+a222

=a332a2⋅a272=4214. Suy ra (SD,(SAC))≈28°

Câu 3

Trong không gian Oxyz, cho \(A(0;0;4),B(0; - 3;0),C(0;3;0),D(3;0;0)\). Tính góc giữa hai mặt phẳng \((ABD)\) và \((ACD)\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng:

\({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 - t}\\{z = 2 + 3t}\end{array}} \right.\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{x + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian, cho hình lập phương \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\).

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng \((ABCD)\) và (CDA' \({B^\prime }\) ).

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)\) và (CDA ' \(\left. {{B^\prime }} \right)\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng \(OBC.{O^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) có đáy là tam giác OBC vuông tại \(O\). Cho biết \(B(3;0;0),C(0;1;0),{O^\prime }(0;0;2)\). Tính góc giữa:

a) hai đường thẳng \(B{O^\prime }\) và \({B^\prime }C\);

b) hai mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\) và \((OBC)\);

c) đường thẳng \({B^\prime }C\) và mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đăng ký

Bạn đã có tài khoản?

Khóa học 1 - 12
THPT
THCS
Phòng luyện đề
ĐGNL - ĐGTD
Tốt nghiệp THPT
Ôn vào 10
Ôn vào 6
Tài liệu
THPT
THCS
Tin Tuyển Sinh
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
Giấy chứng nhận ĐKKD số: 0108307822 do Sở KH & ĐT TP Hà Nội cấp lần đầu ngày 04/06/2018
© 2017 Vietjack72. All Rights Reserved.
zalo Nhắn tin Zalo Hỏi bài tập