Trong không gian Oxyz, cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và $SA \bot (ABCD)$. Cho biết $A(0;0;0),B(2;0;0),D(0;3;0),S(0;0;2)$.

Tính góc giũa:

a) hai đường thằng SC và BD.

b) mặt phẳng (SBD) và mặt đáy;

c) đường thẳng SC và mặt phẳng $(SBD)$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 42 bài tập Góc giữa 2 đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trong không gian Oxyz, ta có $C(2;3;0),\overrightarrow {SC} = (2;3; - 2)$; $\overline {BD} = ( - 2;3;0)$.

a) Hai đường thằng SC và BD có vectơ chi phương lần lượt là $\vec u = (2;3; - 2),\vec v = ( - 2;3;0)$.

Ta có $\cos (SC,BD) = \frac{{|\vec u \cdot \vec v|}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \frac{{|2 \cdot ( - 2) + 3 \cdot 3 + ( - 2) \cdot 0|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {3^2} + {0^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {221} }}$.

Suy ra

(S C, B D) \approx 70^{°} 21^{'}

b) Ta có phương trình mặt phẳng $(SBD)$ theo đoạn chắn là $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1$ hay $3x + 2y + 3z - 6 = 0$.

Mặt phẳng $(SBD)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (3;2;3)$, mặt đáy $(ABCD)$ có vectơ pháp tuyến $\vec k = (0;0;1)$. Gọi $\alpha $ là góc giũua mặt phẳng $(SBD)$ và mặt đáy.

Ta có $\cos \alpha = \frac{{|\vec n \cdot \vec k|}}{{|\vec n| \cdot |\vec k|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {22} }}$. Suy ra

((S B D), (A B C D)) \approx 50^{°} 14^{'}

c) Gọi $\beta $ là góc giũa đường thẳng SC và mặt phẳng $(SBD)$.

Ta có $\sin \beta = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + ( - 2) \cdot 3|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {374} }}$. Suy ra

(S C, (S B D)) \approx 18^{°} 4^{'}

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng: $(\alpha ):2x + 2y - 4z + 1 = 0{\rm{ và }}(\beta ):x - z - 5 = 0.$

Xem đáp án

Lời giải

Mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$ lần lượt có các vectơ pháp tuyến là $\vec n = (2;2; - 4)$ và $\overrightarrow {{n^\prime }} = (1;0; - 1)$.

Ta có: $\cos ((\alpha ),(\beta )) = \frac{{\left| {\vec n \cdot \overrightarrow {{n^\prime }} } \right|}}{{|\vec n| \cdot \left| {\overrightarrow {{n^\prime }} } \right|}} = \frac{{|2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + ( - 4) \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {} 3}}{2}{\rm{. }}$ Vậy

((α), (β)) = 30^{°}

Câu 2

Tính góc giữa hai đường thẳng $d$ và ${d^\prime }$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}$;

b) d: $\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 2 - 2t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.$

c) $d:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2{t^\prime }}\\{y = 3 + 4{t^\prime }}\\{z = 10{t^\prime }.}\end{array}} \right.$

Xem đáp án

Lời giải

a) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2;1)$ và ${\vec a^\prime } = (1;1;2)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1.1 + 2.1 + 1.2|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{6}$. Suy ra $(d, d^{'}) \approx 33^{°} 33^{'}$ .

b) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2;2)$ và ${\vec a^\prime } = ( - 2; - 2;1)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1 \cdot ( - 2) + 2 \cdot ( - 2) + 2 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}$. Suy ra $(d, d^{'}) \approx 63^{°} 36^{'}$

c) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2; - 1)$ và ${\vec a^\prime } = (2;4;10)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1.2 + 2.4 + ( - 1) \cdot 10|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {4^2} + {{10}^2}} }} = 0$. Suy ra $(d, d^{'}) = 90^{°}$

Câu 3