Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng $OBC.{O^\prime }{B^\prime }{C^\prime }$ với $O(0;0;0)$, $B(2a;0;0),C(0;a;0),{O^\prime }(0;0;3a),a > 0$.

a) Xác định tọa độ của điểm ${B^\prime }$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right)$.

c) Tính sin của góc giữa đường thẳng ${B^\prime }C$ và mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right.$ ).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 42 bài tập Góc giữa 2 đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC.O'B'C' với O(0; 0; 0), B(2a; 0; 0), C(0; a; 0), O'(0; 0; 3a), a > 0 (ảnh 1)

a) Ta có: $\overrightarrow {B{B^\prime }} = \overrightarrow {O{O^\prime }} = (0;0;3a)$. Suy ra ${x_{{B^\prime }}} = {x_B} = 2a$, ${y_{{B^\prime }}} = {y_B} = 0,{z_{{B^\prime }}} - 0 = 3a$, tức là ${B^\prime }(2a;0;3a)$.

b) Vì $B(2a;0;0),C(0;a;0),{O^\prime }(0;0;3a)$ nên mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right)$ có phương trình là

$\frac{x}{{2a}} + \frac{y}{a} + \frac{z}{{3a}} = 1 \Leftrightarrow 3x + 6y + 2z - 6a = 0.$

c) Mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = (3;6;2)$.

Do ${B^\prime }(2a;0;3a),C(0;a;0)$ nên $\overrightarrow {{B^\prime }C} = ( - 2a;a; - 3a)$, suy ra vectơ $\overrightarrow {{B^\prime }C} = ( - 2a;a; - 3a)$ cùng phương với vectơ $\vec u = ( - 2;1; - 3)$. Vì thế vectơ $\vec u = ( - 2;1; - 3)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${B^\prime }C$. Suy ra sin của góc giữa đường thẳng ${B^\prime }C$ và mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right)$ bằng:

$\frac{{|3 \cdot ( - 2) + 6 \cdot 1 + 2 \cdot ( - 3)|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{6}{{7\sqrt {14} }} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{49}}{\rm{. }}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng: $(\alpha ):2x + 2y - 4z + 1 = 0{\rm{ và }}(\beta ):x - z - 5 = 0.$

Xem đáp án

Lời giải

Mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$ lần lượt có các vectơ pháp tuyến là $\vec n = (2;2; - 4)$ và $\overrightarrow {{n^\prime }} = (1;0; - 1)$.

Ta có: $\cos ((\alpha ),(\beta )) = \frac{{\left| {\vec n \cdot \overrightarrow {{n^\prime }} } \right|}}{{|\vec n| \cdot \left| {\overrightarrow {{n^\prime }} } \right|}} = \frac{{|2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + ( - 4) \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {} 3}}{2}{\rm{. }}$ Vậy

((α), (β)) = 30^{°}

Câu 2

Tính góc giữa hai đường thẳng $d$ và ${d^\prime }$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}$;

b) d: $\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 2 - 2t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.$

c) $d:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2{t^\prime }}\\{y = 3 + 4{t^\prime }}\\{z = 10{t^\prime }.}\end{array}} \right.$

Xem đáp án

Lời giải

a) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2;1)$ và ${\vec a^\prime } = (1;1;2)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1.1 + 2.1 + 1.2|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{6}$. Suy ra $(d, d^{'}) \approx 33^{°} 33^{'}$ .

b) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2;2)$ và ${\vec a^\prime } = ( - 2; - 2;1)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1 \cdot ( - 2) + 2 \cdot ( - 2) + 2 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}$. Suy ra $(d, d^{'}) \approx 63^{°} 36^{'}$

c) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2; - 1)$ và ${\vec a^\prime } = (2;4;10)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1.2 + 2.4 + ( - 1) \cdot 10|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {4^2} + {{10}^2}} }} = 0$. Suy ra $(d, d^{'}) = 90^{°}$

Câu 3