Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Cho biết \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0),D(0;5;0),{A^\prime }(0;0;3)\). Tính góc giữa:
a) hai đường thẳng AC và \(B{A^\prime }\);
b) hai mă̆t phằng \(\left( {B{B^\prime }{D^\prime }D} \right)\) và \(\left( {A{A^\prime }{C^\prime }C} \right)\);
c) đường thẳng \(A{C^\prime }\) và mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }BD} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Cho biết \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0),D(0;5;0),{A^\prime }(0;0;3)\). Tính góc giữa:
a) hai đường thẳng AC và \(B{A^\prime }\);
b) hai mă̆t phằng \(\left( {B{B^\prime }{D^\prime }D} \right)\) và \(\left( {A{A^\prime }{C^\prime }C} \right)\);
c) đường thẳng \(A{C^\prime }\) và mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }BD} \right)\).
Quảng cáo
Trả lời:


Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với \(O\) trùng với \(A\).
Ta có \({A^\prime }(0;0;3),B(1;0;0),A(0;0;0),C(1;5;0),{B^\prime }(1;0;3),D(0;5;0),{C^\prime }(1;5;3)\)
a) Đường thẳng AC nhận \(\overrightarrow {AC} = (1;5;0)\) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng \({\rm{B}}{{\rm{A}}^\prime }\) nhận \(\overrightarrow {B{A^\prime }} = ( - 1;0;3)\) làm vectơ chỉ phương.
Khi đó \(\cos \left( {AC,B{A^\prime }} \right) = \frac{{|1.( - 1) + 5.0 + 0.3|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2}} \cdot \sqrt {{{( - 1)}^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {65} }}\). Suy ra
b) Ta có \(\overrightarrow {B{B^\prime }} = (0;0;3),\overrightarrow {BD} = ( - 1;5;0),\overrightarrow {AC} = (1;5;0),\overrightarrow {A{A^\prime }} = (0;0;3)\)
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {B{B^\prime }} ,\overrightarrow {BD} } \right] = ( - 15; - 3;0),\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A{A^\prime }} } \right] = (15; - 3;0)\).
Mặt phẳng (BB'D'D) nhận \(\vec n = - \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {B{B^\prime }} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (5;1;0)\) làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng (AA'C'C) nhận \(\overrightarrow {{n^\prime }} = \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A{A^\prime }} } \right] = (5; - 1;0)\) làm vectơ pháp tuyến.
Khi đó \(\cos \left( {\left( {B{B^\prime }{D^\prime }D} \right),\left( {A{A^\prime }{C^\prime }C} \right)} \right) = \frac{{|5 \cdot 5 + 1 \cdot ( - 1) + 0.0|}}{{\sqrt {{5^2} + 1} \cdot \sqrt {{5^2} + 1} }} = \frac{{24}}{{26}} = \frac{{12}}{{13}}\).
c) Ta có \(\overrightarrow {A{C^\prime }} = (1;5;3),\quad \overrightarrow {{A^\prime }B} = (1;0; - 3),\overrightarrow {{A^\prime }D} = (0;5; - 3)\), \(\left[ {\overrightarrow {{A^\prime }B} ,\overrightarrow {{A^\prime }D} } \right] = (15;3;5)\).
Đường thẳng AC ' nhận \(\overrightarrow {A{C^\prime }} = (1;5;3)\) làm vectơ chỉ phương.
Mặt phẳng (A'BD) nhận \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {{A^\prime }B} ,\overrightarrow {{A^\prime }D} } \right] = (15;3;5)\) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có \(\sin \left( {A{C^\prime },\left( {{A^\prime }BD} \right)} \right) = \frac{{|1.15 + 5.3 + 3.5|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{{15}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = \frac{{45}}{{7\sqrt {185} }}\). Suy raHot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {B{B^\prime }} = \overrightarrow {O{O^\prime }} = (0;0;3a)\). Suy ra \({x_{{B^\prime }}} = {x_B} = 2a\), \({y_{{B^\prime }}} = {y_B} = 0,{z_{{B^\prime }}} - 0 = 3a\), tức là \({B^\prime }(2a;0;3a)\).
b) Vì \(B(2a;0;0),C(0;a;0),{O^\prime }(0;0;3a)\) nên mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\) có phương trình là
\(\frac{x}{{2a}} + \frac{y}{a} + \frac{z}{{3a}} = 1 \Leftrightarrow 3x + 6y + 2z - 6a = 0.\)
c) Mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (3;6;2)\).
Do \({B^\prime }(2a;0;3a),C(0;a;0)\) nên \(\overrightarrow {{B^\prime }C} = ( - 2a;a; - 3a)\), suy ra vectơ \(\overrightarrow {{B^\prime }C} = ( - 2a;a; - 3a)\) cùng phương với vectơ \(\vec u = ( - 2;1; - 3)\). Vì thế vectơ \(\vec u = ( - 2;1; - 3)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({B^\prime }C\). Suy ra sin của góc giữa đường thẳng \({B^\prime }C\) và mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\) bằng:
\(\frac{{|3 \cdot ( - 2) + 6 \cdot 1 + 2 \cdot ( - 3)|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{6}{{7\sqrt {14} }} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{49}}{\rm{. }}\)
Lời giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {SA} = \left( {\frac{a}{2};0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {CD} = (a;0;0)\).
Các vectơ \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {CD} \) lần lượt là vectơ chí phương của hai đường thắng SA và CD nên
b) Ta có .
Xét vectoKhi đó, \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC).
Đường thẳng SD có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {SD} = \left( {\frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\).
Suy ra
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.