Câu hỏi:

19/08/2025 59 Lưu

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Cho biết \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0),D(0;5;0),{A^\prime }(0;0;3)\). Tính góc giữa:

a) hai đường thẳng AC và \(B{A^\prime }\);

b) hai mă̆t phằng \(\left( {B{B^\prime }{D^\prime }D} \right)\) và \(\left( {A{A^\prime }{C^\prime }C} \right)\);

c) đường thẳng \(A{C^\prime }\) và mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }BD} \right)\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D'. Cho biết  A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 5; 0), A'(0; 0; 3). Tính góc giữa: (ảnh 1)

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với \(O\) trùng với \(A\).

Ta có \({A^\prime }(0;0;3),B(1;0;0),A(0;0;0),C(1;5;0),{B^\prime }(1;0;3),D(0;5;0),{C^\prime }(1;5;3)\)

a) Đường thẳng AC nhận \(\overrightarrow {AC}  = (1;5;0)\) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\rm{B}}{{\rm{A}}^\prime }\) nhận \(\overrightarrow {B{A^\prime }}  = ( - 1;0;3)\) làm vectơ chỉ phương.

Khi đó \(\cos \left( {AC,B{A^\prime }} \right) = \frac{{|1.( - 1) + 5.0 + 0.3|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 1)}^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {65} }}\). Suy ra AC,BA'86,44°

b) Ta có \(\overrightarrow {B{B^\prime }}  = (0;0;3),\overrightarrow {BD}  = ( - 1;5;0),\overrightarrow {AC}  = (1;5;0),\overrightarrow {A{A^\prime }}  = (0;0;3)\)

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {B{B^\prime }} ,\overrightarrow {BD} } \right] = ( - 15; - 3;0),\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A{A^\prime }} } \right] = (15; - 3;0)\).

Mặt phẳng (BB'D'D) nhận \(\vec n =  - \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {B{B^\prime }} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (5;1;0)\) làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (AA'C'C) nhận \(\overrightarrow {{n^\prime }}  = \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A{A^\prime }} } \right] = (5; - 1;0)\) làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó \(\cos \left( {\left( {B{B^\prime }{D^\prime }D} \right),\left( {A{A^\prime }{C^\prime }C} \right)} \right) = \frac{{|5 \cdot 5 + 1 \cdot ( - 1) + 0.0|}}{{\sqrt {{5^2} + 1}  \cdot \sqrt {{5^2} + 1} }} = \frac{{24}}{{26}} = \frac{{12}}{{13}}\).

c) Ta có \(\overrightarrow {A{C^\prime }}  = (1;5;3),\quad \overrightarrow {{A^\prime }B}  = (1;0; - 3),\overrightarrow {{A^\prime }D}  = (0;5; - 3)\), \(\left[ {\overrightarrow {{A^\prime }B} ,\overrightarrow {{A^\prime }D} } \right] = (15;3;5)\).

Đường thẳng AC ' nhận \(\overrightarrow {A{C^\prime }}  = (1;5;3)\) làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (A'BD) nhận \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {{A^\prime }B} ,\overrightarrow {{A^\prime }D} } \right] = (15;3;5)\) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có \(\sin \left( {A{C^\prime },\left( {{A^\prime }BD} \right)} \right) = \frac{{|1.15 + 5.3 + 3.5|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {3^2}}  \cdot \sqrt {{{15}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = \frac{{45}}{{7\sqrt {185} }}\). Suy ra AC',A'BD28,21°

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC.O'B'C' với O(0; 0; 0), B(2a; 0; 0), C(0; a; 0), O'(0; 0; 3a), a > 0 (ảnh 1)

a) Ta có: \(\overrightarrow {B{B^\prime }}  = \overrightarrow {O{O^\prime }}  = (0;0;3a)\). Suy ra \({x_{{B^\prime }}} = {x_B} = 2a\), \({y_{{B^\prime }}} = {y_B} = 0,{z_{{B^\prime }}} - 0 = 3a\), tức là \({B^\prime }(2a;0;3a)\).

b) Vì \(B(2a;0;0),C(0;a;0),{O^\prime }(0;0;3a)\) nên mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\) có phương trình là

\(\frac{x}{{2a}} + \frac{y}{a} + \frac{z}{{3a}} = 1 \Leftrightarrow 3x + 6y + 2z - 6a = 0.\)

c) Mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (3;6;2)\).

Do \({B^\prime }(2a;0;3a),C(0;a;0)\) nên \(\overrightarrow {{B^\prime }C}  = ( - 2a;a; - 3a)\), suy ra vectơ \(\overrightarrow {{B^\prime }C}  = ( - 2a;a; - 3a)\) cùng phương với vectơ \(\vec u = ( - 2;1; - 3)\). Vì thế vectơ \(\vec u = ( - 2;1; - 3)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({B^\prime }C\). Suy ra sin của góc giữa đường thẳng \({B^\prime }C\) và mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\) bằng:

\(\frac{{|3 \cdot ( - 2) + 6 \cdot 1 + 2 \cdot ( - 3)|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{6}{{7\sqrt {14} }} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{49}}{\rm{. }}\)

Lời giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {SA}  = \left( {\frac{a}{2};0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {CD}  = (a;0;0)\).

Các vectơ \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {CD} \) lần lượt là vectơ chí phương của hai đường thắng SA và CD nên cos(SA,CD)=a2a+00+a320a22+02+a322a2+02+02=a22aa=12( do a>0).

Suy ra (SA,CD)=60°

b) Ta có AC=(a;a;0) .

Xét vecto [SA,AC]=0a32a0;a32a20a;a20aa =a232;a232;a22

Khi đó, \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC).

Đường thẳng SD có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {SD}  = \left( {\frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

 Ta có sin(SD,(SAC))=a2a232+aa232+a32a22a22+a2+a322a2322+a2322+a222

=a332a2a272=4214. Suy ra (SD,(SAC))28°