Trong không gian, cho hình lập phương $ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$.

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng $(ABCD)$ và (CDA' ${B^\prime }$ ).

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)$ và (CDA ' $\left. {{B^\prime }} \right)$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 42 bài tập Góc giữa 2 đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trong không gian, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính góc giữa hai mặt phẳng ABCD và (CDA'B'). (ảnh 1)

a) Trong hình vuông $AD{D^\prime }{A^\prime }$, ta có: $A{D^\prime } \bot D{A^\prime }$.

Do $CD \bot \left( {AD{D^\prime }{A^\prime }} \right)$ nên $A{D^\prime } \bot CD$. Suy ra $A{D^\prime } \bot \left( {CD{A^\prime }{B^\prime }} \right)$.

Mặt khác, ta có: $A{A^\prime } \bot (ABCD)$, suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(ABCD)$ và $\left( {CD{A^\prime }{B^\prime }} \right)$ là góc giữa hai đường thẳng $A{A^\prime }$ và $A{D^\prime }$, đó là góc ${A^\prime }A{D^\prime }$. Vì tam giác ${A^\prime }A{D^\prime }$ vuông cân tại ${A^\prime }$ nên $\hat{A^{'} A D^{'}} = 45^{°}$ . Vậy $((A B C D), (C D A^{'} B^{'})) = \hat{A^{'} A D^{'}} = 45^{°}$ .

b) Ta có ${\rm{A}}{{\rm{D}}^\prime } \bot ({\rm{CDAB}})$.

Mặt khác, ta có $AB \bot (BCCB)$, suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(BCCB)$ và $(CDAB$ ) là góc giữa hai đường thẳng AB và AD ', đó là góc BAD :

Lại có $AB \bot \left( {AD{D^\prime }A} \right.$ ), suy ra $AB \bot AD$ ', do đó $\hat{B A D^{'}} = 90^{°}$ .

Vậy $((BCC B), (C D A B)) = \hat{B A D^{'}} = 90^{°}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng: $(\alpha ):2x + 2y - 4z + 1 = 0{\rm{ và }}(\beta ):x - z - 5 = 0.$

Xem đáp án

Lời giải

Mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$ lần lượt có các vectơ pháp tuyến là $\vec n = (2;2; - 4)$ và $\overrightarrow {{n^\prime }} = (1;0; - 1)$.

Ta có: $\cos ((\alpha ),(\beta )) = \frac{{\left| {\vec n \cdot \overrightarrow {{n^\prime }} } \right|}}{{|\vec n| \cdot \left| {\overrightarrow {{n^\prime }} } \right|}} = \frac{{|2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + ( - 4) \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {} 3}}{2}{\rm{. }}$ Vậy

((α), (β)) = 30^{°}

Câu 2

Tính góc giữa hai đường thẳng $d$ và ${d^\prime }$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}$;

b) d: $\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 2 - 2t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.$

c) $d:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2{t^\prime }}\\{y = 3 + 4{t^\prime }}\\{z = 10{t^\prime }.}\end{array}} \right.$

Xem đáp án

Lời giải

a) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2;1)$ và ${\vec a^\prime } = (1;1;2)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1.1 + 2.1 + 1.2|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{6}$. Suy ra $(d, d^{'}) \approx 33^{°} 33^{'}$ .

b) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2;2)$ và ${\vec a^\prime } = ( - 2; - 2;1)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1 \cdot ( - 2) + 2 \cdot ( - 2) + 2 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}$. Suy ra $(d, d^{'}) \approx 63^{°} 36^{'}$

c) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2; - 1)$ và ${\vec a^\prime } = (2;4;10)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1.2 + 2.4 + ( - 1) \cdot 10|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {4^2} + {{10}^2}} }} = 0$. Suy ra $(d, d^{'}) = 90^{°}$

Câu 3