Trong không gian vởi hệ tộ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có các đỉnh lần lượt là \(S\left( {0;0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),A\left( {\frac{a}{2};0;0} \right),B\left( { - \frac{a}{2};0;0} \right),C\left( { - \frac{a}{2};a;0} \right),D\left( {\frac{a}{2};a;0} \right)\) với \(a > 0(\) Hình 36).

a) Xác định toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {SA} \), \(\overrightarrow {CD} \). Từ đó tính góc giữa hai đường thẳng SA và CD (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

b) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAC)\). Từ đó tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng \((SAC)\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và \(SA \bot (ABCD)\). Cho biết \(A(0;0;0),B(2;0;0),D(0;3;0),S(0;0;2)\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng \(OBC.{O^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) với \(O(0;0;0)\), \(B(2a;0;0),C(0;a;0),{O^\prime }(0;0;3a),a > 0\).

a) Xác định tọa độ của điểm \({B^\prime }\).

b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\).

c) Tính sin của góc giữa đường thẳng \({B^\prime }C\) và mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right.\) ).

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng \(OBC.{O^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) có đáy là tam giác OBC vuông tại \(O\). Cho biết \(B(3;0;0),C(0;1;0),{O^\prime }(0;0;2)\). Tính góc giữa:

a) hai đường thẳng \(B{O^\prime }\) và \({B^\prime }C\);

b) hai mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\) và \((OBC)\);

c) đường thẳng \({B^\prime }C\) và mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\).

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Cho biết \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0),D(0;5;0),{A^\prime }(0;0;3)\). Tính góc giữa:

a) hai đường thẳng AC và \(B{A^\prime }\);

b) hai mă̆t phằng \(\left( {B{B^\prime }{D^\prime }D} \right)\) và \(\left( {A{A^\prime }{C^\prime }C} \right)\);

c) đường thẳng \(A{C^\prime }\) và mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }BD} \right)\).

Trong không gian, cho hình lập phương \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\).

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng \((ABCD)\) và (CDA' \({B^\prime }\) ).

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)\) và (CDA ' \(\left. {{B^\prime }} \right)\).

Tính góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \({d^\prime }\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\) và \({d^\prime }:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\);

b) d: \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 2t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\)

c) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y =  - 1 + 2t}\\{z =  - 2 - t}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2{t^\prime }}\\{y = 3 + 4{t^\prime }}\\{z = 10{t^\prime }.}\end{array}} \right.\)