Trong không gian Oxyz, cho $A(0;0;4),B(0; - 3;0),C(0;3;0),D(3;0;0)$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(ABD)$ và $(ACD)$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 42 bài tập Góc giữa 2 đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trong không gian Oxyz, cho A(0; 0; 4), B(0; -3; 0), C(0; 3; 0), D(3; 0; 0). Tính góc giữa hai mặt phẳng ABCD và ACD (ảnh 1)

Mặt phẳng $(ABD)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {BD} = (3;3;0)$ và $\overrightarrow {AD} = (3;0; - 4)$.

Suy ra $(ABD)$ có vectơ pháp tuyến $[B\vec D,\overrightarrow {AD} ] = ( - 12;12; - 9)$. Do đó $\vec n = ( - 4;4; - 3)$ cũng là vectơ pháp tuyến của $(ABD)$.

Mặt phẳng $(ACD)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AC} = (0;3; - 4)$ và $\overrightarrow {AD} = (3;0; - 4)$. Suy ra $(ACD)$ có vectơ pháp tuyến là $[\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ] = ( - 12; - 12; - 9)$. Do đó $\vec m = (4;4;3)$ cũng là vectơ pháp tuyến của $(ACD)$.

Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $(ABD)$ và $(ACD)$. Khi đó:

$\cos \varphi = |\cos (\vec n,\vec m)| = \frac{{| - 4 \cdot 4 + 4 \cdot 4 + ( - 3) \cdot 3|}}{{\sqrt {{{( - 4)}^2} + {4^2} + {{( - 3)}^2}} \cdot \sqrt {{4^2} + {4^2} + {3^2}} }} = \frac{9}{{41}}.$Vậy

φ \approx {77,3}^{°}

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian vởi hệ tộ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có các đỉnh lần lượt là $S\left( {0;0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),A\left( {\frac{a}{2};0;0} \right),B\left( { - \frac{a}{2};0;0} \right),C\left( { - \frac{a}{2};a;0} \right),D\left( {\frac{a}{2};a;0} \right)$ với $a > 0($ Hình 36).

a) Xác định toạ độ của các vectơ $\overrightarrow {SA} $, $\overrightarrow {CD} $. Từ đó tính góc giữa hai đường thẳng SA và CD (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

b) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$. Từ đó tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng $(SAC)$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: $\overrightarrow {SA} = \left( {\frac{a}{2};0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {CD} = (a;0;0)$.

Các vectơ $\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {CD} $ lần lượt là vectơ chí phương của hai đường thắng SA và CD nên $\cos (S A, C D) = \frac{|\frac{a}{2} \cdot a + 0 \cdot 0 + (- \frac{a \sqrt{3}}{2}) \cdot 0|}{\sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2} + 0^{2} + {(- \frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}} \cdot \sqrt{a^{2} + 0^{2} + 0^{2}}} = \frac{\frac{a^{2}}{2}}{a \cdot a} = \frac{1}{2} (do a > 0) .$

Suy ra

(S A, C D) = 60^{°}

b) Ta có $\vec{A C} = (- a; a; 0)$ .

Xét vecto

[\vec{S A}, \vec{A C}] = (|\begin{matrix} 0 & - \frac{a \sqrt{3}}{2} \\ a & 0 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - \frac{a \sqrt{3}}{2} & \frac{a}{2} \\ 0 & - a \end{matrix}|; |\begin{matrix} \frac{a}{2} & 0 \\ - a & a \end{matrix}|)

= (\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}; \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}; \frac{a^{2}}{2})

Khi đó, $\vec n$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC).

Đường thẳng SD có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {SD} = \left( {\frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)$.

$Ta có \sin (S D, (S A C)) = \frac{|\frac{a}{2} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + a \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + (- \frac{a \sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{a^{2}}{2}|}{\sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2} + a^{2} + {(- \frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}} \cdot \sqrt{{(\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{a^{2}}{2})}^{2}}}$

$= \frac{\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}}{a \sqrt{2} \cdot a^{2} \frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{42}}{14} .$ Suy ra $(S D, (S A C)) \approx 28^{°}$

Câu 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng $OBC.{O^\prime }{B^\prime }{C^\prime }$ với $O(0;0;0)$, $B(2a;0;0),C(0;a;0),{O^\prime }(0;0;3a),a > 0$.

a) Xác định tọa độ của điểm ${B^\prime }$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right)$.

c) Tính sin của góc giữa đường thẳng ${B^\prime }C$ và mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right.$ ).

Xem đáp án

Lời giải

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC.O'B'C' với O(0; 0; 0), B(2a; 0; 0), C(0; a; 0), O'(0; 0; 3a), a > 0 (ảnh 1)

a) Ta có: $\overrightarrow {B{B^\prime }} = \overrightarrow {O{O^\prime }} = (0;0;3a)$. Suy ra ${x_{{B^\prime }}} = {x_B} = 2a$, ${y_{{B^\prime }}} = {y_B} = 0,{z_{{B^\prime }}} - 0 = 3a$, tức là ${B^\prime }(2a;0;3a)$.

b) Vì $B(2a;0;0),C(0;a;0),{O^\prime }(0;0;3a)$ nên mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right)$ có phương trình là

$\frac{x}{{2a}} + \frac{y}{a} + \frac{z}{{3a}} = 1 \Leftrightarrow 3x + 6y + 2z - 6a = 0.$

c) Mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = (3;6;2)$.

Do ${B^\prime }(2a;0;3a),C(0;a;0)$ nên $\overrightarrow {{B^\prime }C} = ( - 2a;a; - 3a)$, suy ra vectơ $\overrightarrow {{B^\prime }C} = ( - 2a;a; - 3a)$ cùng phương với vectơ $\vec u = ( - 2;1; - 3)$. Vì thế vectơ $\vec u = ( - 2;1; - 3)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${B^\prime }C$. Suy ra sin của góc giữa đường thẳng ${B^\prime }C$ và mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right)$ bằng:

$\frac{{|3 \cdot ( - 2) + 6 \cdot 1 + 2 \cdot ( - 3)|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{6}{{7\sqrt {14} }} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{49}}{\rm{. }}$

Câu 3