Trong không gian với hệ tọa độ \[{\rm{Ox}}yz\], cho đường thẳng \({d_1}\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;0; - 2} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {1; - 3;2} \right)\), \({d_2}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 4}}{3}\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) cách đều hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) có dạng \[ax + by + cz + 11 = 0\]. Giá trị \(a + 2b + 3c\) bằng

Chọn D

Đường thẳng \({d_2}\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow v  = \left( {1; - 2;3} \right)\) và đi qua điểm \(N\left( { - 3;1; - 4} \right)\)

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right] = \left( {4;5;2} \right) \ne \overrightarrow 0 \); \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 4;4; - 6} \right)\); \(\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right].\overrightarrow {MN}  =  - 16 + 20 - 12 =  - 8 \ne 0\)

\( \Rightarrow \) \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cách đều hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) nên \(\left( P \right)\) nhận \(\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right] = \left( {4;5;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm \(I\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\) của đoạn \(MN\)

Suy ra phương trình của \(\left( P \right)\): \(4\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y + 2z + 11 = 0\)

\( \Rightarrow a = 4;b = 5;c = 2\) \( \Rightarrow a + 2b + 3c = 20\).