Cho hình chóp \(S.ABCD\) có\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\). Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(SB\), \(SD\). Côsin của góc hợp bới hai mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là.

Chọn hệ trục tọa độ \[Ox{\rm{yz}}\] sao cho \(A \equiv O\), \(B \in Ox\), \(D \in Oy\), \(S \in Oz\).

\( \Rightarrow B\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(D\left( {0\,;\,a\,;\,0} \right)\), \(S\left( {0\,;\,0\,;\,a} \right)\). Khi đó \(E\left( {\frac{a}{2}\,;\,0\,;\,\frac{a}{2}} \right)\), \(F\left( {0\,;\,\frac{a}{2}\,;\,\frac{a}{2}} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AE}  = \left( {\frac{a}{2}\,;\,0\,;\,\frac{a}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {AF}  = \left( {0\,;\,\frac{a}{2}\,;\,\frac{a}{2}} \right)\).

Vectơ pháp tuyến của mp\(\left( {AEF} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AF} } \right] = \left( {\frac{{ - a}}{4}\,;\,\frac{{ - a}}{4}\,;\,\frac{a}{4}} \right)\)\[ \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1\,;\,1\,;\, - 1} \right).\].

Vectơ pháp tuyến của mp\(\left( {ABCD} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \overrightarrow {AS}  = (0\,;\,0\,;\,a)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right).\).

Vậy côsin góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\)và \(\left( {ABCD} \right)\) là.

\[\cos \left( {\left( {AEF} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}.{{\overrightarrow n }_2}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_2}} \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot \].