Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = AC = a\), góc \(\widehat {BAC} = 120^\circ \), \(AA' = a\). Gọi \[M\], \[N\] lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(CC'\). Số đo góc giữa mặt phẳng\(\left( {AMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = AC = a\), góc \(\widehat {BAC} = 120^\circ \), \(AA' = a\). Gọi \[M\], \[N\] lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(CC'\). Số đo góc giữa mặt phẳng\(\left( {AMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng
A. 600
B. 300
C. \[\arcsin \frac{{\sqrt 3 }}{4}\].
D. \[\arccos \frac{{\sqrt 3 }}{4}\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn D
Gọi \[H\] là trung điểm \[BC\], \[BC = a\sqrt 3 \], \[AH = \frac{a}{2}\].
Chọn hệ trục tọa độ \[H\left( {0;0;0} \right)\], \[A\left( {\frac{a}{2};0;0} \right)\], \[B\left( {0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\], \[C\left( {0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\],
\[M\left( {0;0;a} \right)\], \[N\left( {0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2}} \right)\]. Gọi \[\varphi \] là góc giữa mặt phẳng\(\left( {AMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
\(\left( {AMN} \right)\) có một vtpt \[\vec n = \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AN} } \right]\]\[ = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1}}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\]
\(\left( {ABC} \right)\) có một vtpt \[\overrightarrow {HM} \]\[ = \left( {0;0;1} \right)\], từ đó \[\cos \varphi = \frac{{\left| {\vec n.\overrightarrow {HM} } \right|}}{{\left| {\vec n} \right|HM}}\]\[ = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{4}}}{{1.1}}\]\[ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\].
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
B. \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
C. \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\).
Lời giải
Chọn B
Trong \(\left( {SAB} \right)\), kẻ \(SH \bot AB\) tại \(H\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Kẻ tia \(Az\)//\(SH\) và chọn hệ trục tọa độ \(Axyz\) như hình vẽ sau đây.
Trong tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\),
Trong tam giác \(SBH\) vuông tại \(H\),
\(AH = AB - BH = a - \frac{{3a}}{4} = \frac{a}{4}\) \( \Rightarrow H\left( {0;\frac{a}{4};0} \right) \Rightarrow S\left( {0;\frac{a}{4};\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)\).
\(M\left( {0;\frac{a}{2};0} \right)\), \(D\left( {a;0;0} \right)\), \(N\left( {\frac{a}{2};a;0} \right)\).
Ta có: \[\overrightarrow {SM} = \left( {0;\frac{a}{4}; - \frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)\], \(\overrightarrow {DN} = \left( { - \frac{a}{2};a;0} \right)\) \( \Rightarrow \)\[\cos \left( {SM,DN} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {DN} } \right|}}{{SN.DN}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4}}}{{\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\].
Câu 2
A. \(\frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}.\)
B. \(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}.\)
C. \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}.\)
D. \(\frac{{\sqrt {55} }}{{10}}.\)
Lời giải
Chọn A
Đặt không gian \[Oxyz\] với \(A \equiv O(0;0;0),{\rm{ }}AB \equiv Ox,{\rm{ }}AD \equiv Oy,{\rm{ }}AS \equiv Oz\).
Ta có: \(S(0;0;a),{\rm{ }}B(a;0;0),{\rm{ }}D(0;2a;0),{\rm{ }}C(a;a;0)\).
\(M(\frac{a}{2};0;\frac{a}{2}),{\rm{ }}N(\frac{a}{2};\frac{{3a}}{2};0)\)
\(\overrightarrow {MN} = (0;\frac{{3a}}{2};\frac{{ - a}}{2})\)
\[\overrightarrow {AS} = (0;0;a),\overrightarrow {{\rm{ }}AC} = (a;a;0)\]
\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {AC} } \right] = ( - {a^2};{a^2};0)\] là vtpt của mặt phẳng \((SAC)\).
\(\sin (MN;(SAC)) = \frac{{\overrightarrow {MN} .{{\overrightarrow n }_{(SAC)}}}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|\left| {{{\overrightarrow n }_{(SAC)}}} \right|}} = \frac{{\frac{{3{a^3}}}{2}}}{{\sqrt {\frac{{9{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4}} .\sqrt {{a^4} + {a^4}} }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\).
Câu 3
A. \[\sin \alpha = \frac{{\sqrt 7 }}{8}\].
B. \[\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
C. \[\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\].
D. \[\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{5}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).\[\]
B. \(\frac{{\sqrt {41} }}{{41}}\).
C. \(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
D. \(\frac{{2\sqrt {41} }}{{41}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\frac{{17\sqrt {13} }}{{65}}\)
B. \(\frac{{18\sqrt {13} }}{{65}}\)
C. \(\frac{{6\sqrt {13} }}{{65}}\)
D. \(\frac{{\sqrt {13} }}{{65}}\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(\frac{{2\sqrt {39} }}{{39}}\).
B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\).
C. \(\frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}\).
D. \(\frac{{\sqrt {13} }}{{13}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{10}}\).
B. \(\frac{{\sqrt {30} }}{{10}}\).
C. \(\frac{{\sqrt {30} }}{{30}}\).
D. \(\frac{{\sqrt {10} }}{{30}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập