Tháp nghiêng ở thành phố Pisa, Italia nghiêng khoảng \(4^\circ \) so với phương thẳng đứng. Người ta gắn ở mặt ngoài của tháp hai thiết bị tại hai vị trí \(A,\,\,B\) và nối với nhau bởi dây truyền tín hiệu. Tính gần đúng độ dài nhỏ nhất của dây đó, biết \(HB\) gần bằng \(3,146\,\,\;{\rm{m,}}\) với \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên mặt đất (xem hình vẽ). Kết quả làm tròn đến hàng phần mười theo đơn vị mét.

Gọi \(x\) (giây) là thời gian di chuyển của mỗi người \(\left( {0 < x < 500} \right).\)

Quãng đường người thứ nhất đi được là: \(BE = 2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Quãng đường người thứ hai đi được là: \(AD = 1,5x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Ta có \(AE = AB - BE = 1\,\,000 - 2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Khoảng cách giữa hai người là nhỏ nhất khi DE ngắn nhất.

Xét \(\Delta ADE\) vuông tại \(A,\) theo định lí Pythagore, ta có:

\(D{E^2} = A{D^2} + A{E^2} = {\left( {1,5x} \right)^2} + {\left( {1\,\,000 - 2x} \right)^2} = 2,25{x^2} + 4{x^2} - 4\,\,000x + 1\,\,000\,\,000\)

 \( = 6,25{x^2} - 4\,\,000x + 1\,\,000\,\,000 = 6,25\left( {{x^2} - 640x + 102\,\,400} \right) + 360\,\,000\)

 \( = 6,25{\left( {x - 320} \right)^2} + 360\,\,000.\)

Ta có: \({\left( {x - 320} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \(6,25{\left( {x - 320} \right)^2} + 360\,\,000 \ge 360\,\,000.\)

Do đó \(D{E^2} \ge 360\,\,000\) nên \(DE \ge 600\).

Dấu “=” xảy ra khi \[{\left( {x - 320} \right)^2} = 0\] hay \(x = 320.\)

Vậy sau \[320\] giây thì khoảng cách giữa hai người là nhỏ nhất.

Ta có \(A \cup B = \left[ { - 2;4} \right] \cup \left( {1;5} \right) = \left[ { - 2;5} \right)\).

Ta có \(A \cap B = \left[ { - 2;4} \right] \cap \left( {1;5} \right) = \left( {1;4} \right]\).