Câu hỏi:

21/08/2025 192 Lưu

Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - \cos \alpha } \right)^2} + {\left( {y - \cos \beta } \right)^2} + {\left( {z - \cos \gamma } \right)^2} = 4\) với \(\alpha ,\beta \) và \(\gamma \) lần lượt là ba góc tạo bởi tia \(Ot\) bất kì với \(3\) tia \(Ox,Oy\) và \(Oz\). Biết rằng mặt cầu \(\left( S \right)\) luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định. Tổng diện tích của hai mặt cầu cố định đó bằng

A. \(40\pi \).               
B. \(4\pi \).                  
C. \(20\pi \).               
D. \(36\pi \).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Chọn A

Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S: (x-cosa)^2 + (y-cosB)^2 + (z-cosy)^2 = 4 với a, b và y lần lượt là ba góc tạo bởi tia Ot bất kì (ảnh 1)

Ta dễ dàng chứng minh được: \({\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = 1\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {\cos \alpha ;\cos \beta ;\cos \gamma } \right)\).

Suy ra tâm \(I\) thuộc mặt cầu \(\left( {S'} \right)\)có tâm \(O\left( {0;0;0} \right),R = \sqrt {{{\cos }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\beta  + {{\cos }^2}\gamma }  = 1\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) luôn tiếp xúc với hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\).

Mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm là \(O\), bán kính \({R_1} = \left| {OI - R} \right| = \left| {1 - 2} \right| = 1\).

Mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm là \(O\), bán kính \({R_2} = OI + R = 1 + 2 = 3\).

Vậy tổng diện tích hai mặt cầu bằng \(4\pi \left( {R_1^2 + R_2^2} \right) = 4\pi \left( {{1^2} + {3^2}} \right) = 40\pi \).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Chọn D

Cho hai điểm A, B cố định trong không gian có độ dài AB là 4. Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA = 3MB là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng (ảnh 1)

Ta có: \[MA = 3MB \Leftrightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} = 9{\overrightarrow {MB} ^2}\]\[ \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} = 9{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\]\[ \Leftrightarrow I{A^2} - 9I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA}  - 9\overrightarrow {IB} } \right) = 8M{I^2}\,\,\left( 1 \right)\]

Gọi \[I\] thỏa mãn \[\overrightarrow {IA}  - 9\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {BI}  = \frac{1}{8}\overrightarrow {AB} \] nên \(IB = \frac{1}{2};\,IA = \frac{9}{2}\).

Từ \(\left( 1 \right)\) suy ra \[ \Leftrightarrow 8M{I^2}\, = 18 \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2}\] suy ra \(M \in S\left( {I;\frac{3}{2}} \right).\)

Lời giải

Chọn D

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} + {\left( {m - 1} \right)^2} - 3{m^2} + 5 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 10 < 0\\ \Leftrightarrow  - 1 - \sqrt {11}  < m < 1 + \sqrt {11} \end{array}\)

Theo bài ra \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = \left\{ {\left. { - 2;\, - 1;\,0;\,1;\,2;\,3;\,4} \right\}} \right. \Rightarrow \) có \(7\) giá trị của \(m\) nguyên thỏa mãn bài toán.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

A. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).       

B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\).

C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).        
D. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

A. \(I\left( {3;\, - 2;\, - 1} \right)\).    
B. \(I\left( {2;\, - 1;\,0} \right)\).  
C. \(I\left( {3;\, - 2;\,1} \right)\).                   
D. \(I\left( { - 3;\, - 2;\,1} \right)\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP