Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có tọa độ đỉnh \(A\left( {2;{\rm{ }}0;{\rm{ }}0} \right)\), \(B\left( {0;{\rm{ 4}};{\rm{ }}0} \right)\), \(C\left( {0;{\rm{ }}0;{\rm{ 6}}} \right)\), \(A\left( {2;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}}} \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\). Viết phương trình mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có tâm trùng với tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) và có bán kính gấp \(2\) lần bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\).

Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - \cos \alpha } \right)^2} + {\left( {y - \cos \beta } \right)^2} + {\left( {z - \cos \gamma } \right)^2} = 4\) với \(\alpha ,\beta \) và \(\gamma \) lần lượt là ba góc tạo bởi tia \(Ot\) bất kì với \(3\) tia \(Ox,Oy\) và \(Oz\). Biết rằng mặt cầu \(\left( S \right)\) luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định. Tổng diện tích của hai mặt cầu cố định đó bằng

Trong không gian \(Oxyz\), có tất cả bao nhiêu giá nguyên của \(m\) để

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {m + 2} \right)x - 2\left( {m - 1} \right)z + 3{m^2} - 5 = 0\) là phương trình một mặt cầu?

Cho hai điểm \[A,B\] cố định trong không gian có độ dài \[AB\] là \[4\]. Biết rằng tập hợp các điểm \[M\] trong không gian sao cho \[MA = 3MB\] là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng

Cho phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2my + 3{m^2} - 2m = 0\] với \[m\] là tham số. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của \[m\] để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.

Trong không gian \(Oxyz\). Cho tứ diện đều \(ABCD\) có \(A\left( {0;\,1;\,2} \right)\) và hình chiếu vuông góc của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là \(H\left( {4;\, - 3;\, - 2} \right)\). Tìm tọa độ tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).