Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có tọa độ đỉnh \(A\left( {2;{\rm{ }}0;{\rm{ }}0} \right)\), \(B\left( {0;{\rm{ 4}};{\rm{ }}0} \right)\), \(C\left( {0;{\rm{ }}0;{\rm{ 6}}} \right)\), \(A\left( {2;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}}} \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\). Viết phương trình mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có tâm trùng với tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) và có bán kính gấp \(2\) lần bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có tọa độ đỉnh \(A\left( {2;{\rm{ }}0;{\rm{ }}0} \right)\), \(B\left( {0;{\rm{ 4}};{\rm{ }}0} \right)\), \(C\left( {0;{\rm{ }}0;{\rm{ 6}}} \right)\), \(A\left( {2;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}}} \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\). Viết phương trình mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có tâm trùng với tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) và có bán kính gấp \(2\) lần bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\).
A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 56\).
B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0\).
C. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 14\).
D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 6z - 12 = 0\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn A
Gọi phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).
Vì \(\left( S \right)\) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) nên ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}{2^2} + {0^2} + {0^2} - 2.a.2 - 2.b.0 - 2.c.0 + d = 0\\{0^2} + {4^2} + {0^2} - 2.a.0 - 2.b.4 - 2.c.0 + d = 0\\{0^2} + {0^2} + {6^2} - 2.a.0 - 2.b.0 - 2.c.6 + d = 0\\{2^2} + {4^2} + {6^2} - 2.a.2 - 2.b.4 - 2.c.6 + d = 0\end{array} \right.\] \( \Leftrightarrow \) \[\left\{ \begin{array}{l} - 4a + d = - 4\\ - 8b + d = - 16\\ - 12c + d = - 36\\ - 4a - 8b - 12c + d = - 56\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \)\[\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 3\\d = 0\end{array} \right.\]
\( \Rightarrow \) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0\)\( \Rightarrow \)\(I\left( {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3} \right)\) và \(R = \sqrt {14} \) \( \Rightarrow \)\(R' = 2\sqrt {14} \).
Vậy: mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có tâm \(I\left( {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3} \right)\) và \(R' = 2\sqrt {14} \):\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 56\).
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(40\pi \).
B. \(4\pi \).
C. \(20\pi \).
D. \(36\pi \).
Lời giải
Chọn A
Ta dễ dàng chứng minh được: \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\)
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {\cos \alpha ;\cos \beta ;\cos \gamma } \right)\).
Suy ra tâm \(I\) thuộc mặt cầu \(\left( {S'} \right)\)có tâm \(O\left( {0;0;0} \right),R = \sqrt {{{\cos }^2}\alpha + {{\cos }^2}\beta + {{\cos }^2}\gamma } = 1\)
Mặt cầu \(\left( S \right)\) luôn tiếp xúc với hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\).
Mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm là \(O\), bán kính \({R_1} = \left| {OI - R} \right| = \left| {1 - 2} \right| = 1\).
Mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm là \(O\), bán kính \({R_2} = OI + R = 1 + 2 = 3\).
Vậy tổng diện tích hai mặt cầu bằng \(4\pi \left( {R_1^2 + R_2^2} \right) = 4\pi \left( {{1^2} + {3^2}} \right) = 40\pi \).
Câu 2
A. \[3\].
B. \(\frac{9}{2}\).
C. \[1\].
D. \(\frac{3}{2}\).
Lời giải
Chọn D
Ta có: \[MA = 3MB \Leftrightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} = 9{\overrightarrow {MB} ^2}\]\[ \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} = 9{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\]\[ \Leftrightarrow I{A^2} - 9I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} - 9\overrightarrow {IB} } \right) = 8M{I^2}\,\,\left( 1 \right)\]
Gọi \[I\] thỏa mãn \[\overrightarrow {IA} - 9\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BI} = \frac{1}{8}\overrightarrow {AB} \] nên \(IB = \frac{1}{2};\,IA = \frac{9}{2}\).
Từ \(\left( 1 \right)\) suy ra \[ \Leftrightarrow 8M{I^2}\, = 18 \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2}\] suy ra \(M \in S\left( {I;\frac{3}{2}} \right).\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).
B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\).
C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).
D. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(I\left( {3;\, - 2;\, - 1} \right)\).
B. \(I\left( {2;\, - 1;\,0} \right)\).
C. \(I\left( {3;\, - 2;\,1} \right)\).
D. \(I\left( { - 3;\, - 2;\,1} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo