Cho hai điểm \(A(1; - 2;3),B(2;0;1)\) và mặt cầu \((S)\) tâm \(A\) đi qua \(B\).

c) Phương trình mặt cầu \((S)\) là: \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 81\).

d) Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {1;0;2} \right)\] và bán kính \[R = \sqrt {10} \].

Ta có \[IA = 2\sqrt {10}  = 2R\] nên tồn tại điểm \[C\] cố định sao cho \[MA = 2MC;\forall M \in \left( S \right){\rm{  }}\left( 1 \right)\]

Thật vậy, gọi \[C\left( {a;b;c} \right)\]. Khi đó, với mọi điểm \[M\left( {x;y;z} \right) \in \left( S \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = 2x + 4z + 5\], ta có: \[M{A^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 4y + 8{\rm{z}} + 21\]

\[ = 2{\rm{x}} + 4{\rm{z}} + 5 - 2{\rm{x}} - 4y + 8{\rm{x}} + 21 =  - 4y + 12{\rm{z}} + 26\]

\[M{C^2} = {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2a{\rm{x}} - 2by - 2c{\rm{z}} + {a^2} + {b^2} + {c^2}\]

\[ = 2{\rm{x}} + 4{\rm{z}} + 5 - 2a{\rm{x}} - 2by - 2c{\rm{x}} + {a^2} + {b^2} + {c^2} = \left( {2 - 2a} \right)x - 2by + \left( {4 - 2c} \right){\rm{z}} +  + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 5\]

Nên \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow M{A^2} = 4M{C^2};\forall M \in \left( S \right)\]

\[ \Leftrightarrow  - 4y + 12{\rm{z}} + 26 = 4\left[ {\left( {2 - 2{\rm{a}}} \right)x - 2by + \left( {4 - 2c} \right)z + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 5} \right];\forall x;y;z \in \mathbb{R}\]

 \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4\left( {2 - 2{\rm{a}}} \right) = 0}\\{4\left( { - 2b} \right) =  - 4}\\{4\left( {4 - 2c} \right) = 12}\\{4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 5} \right) = 26}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = \frac{1}{2}}\\{c = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow C\left( {1;\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

Lúc này, \(IC = \frac{{\sqrt {10} }}{2} < R < IB = 2\sqrt {37} \)  nên \(C\) nằm trong \(\left( S \right)\) còn \(B\) nằm ngoài \(\left( S \right)\) và

\(MA + 2MB = 2MC + 2MB = 2\left( {MC + MB} \right) \ge 2BC = 3\sqrt {82} \).

Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow M\) là giao điểm của đoạn \(BC\) và mặt cầu \(\left( S \right)\).

Vậy \(\min \left( {MA + 2MB} \right) = 3\sqrt {82} \). Do đó câu này đúng.

d) Gọi \(E\) là điểm thỏa mãn: \[2\overrightarrow {E{\rm{A}}}  + 3\overrightarrow {EB}  = \overrightarrow 0 \]. Suy ra \(E\left( { - 1;1;1} \right)\).

Xét \(P = 2M{A^2} + 3M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {E{\rm{A}}} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {EB} } \right)^2} = 5M{E^2} + 2E{A^2} + 3E{B^2}\).

\(P\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(ME\)đạt giá trị nhỏ nhất.

\(IE = 2\sqrt 3  > R\) suy ra điểm \(E\) nằm ngoài mặt cầu nên \(ME\) nhỏ nhất bằng \(IE - R = 2\sqrt 3  - \sqrt 3  = \sqrt 3 \)

Vậy \(P = 2M{A^2} + 3M{B^2} = 5M{E^2} + 2E{A^2} + 3E{B^2} = 105\). Do đó câu này đúng.