Cho điểm \(I(1;2;3)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua \(I\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \).

a) Nếu \(\vec u\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) thì \(\vec u\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

d) Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {1;0;2} \right)\] và bán kính \[R = \sqrt {10} \].

Ta có \[IA = 2\sqrt {10}  = 2R\] nên tồn tại điểm \[C\] cố định sao cho \[MA = 2MC;\forall M \in \left( S \right){\rm{  }}\left( 1 \right)\]

Thật vậy, gọi \[C\left( {a;b;c} \right)\]. Khi đó, với mọi điểm \[M\left( {x;y;z} \right) \in \left( S \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = 2x + 4z + 5\], ta có: \[M{A^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 4y + 8{\rm{z}} + 21\]

\[ = 2{\rm{x}} + 4{\rm{z}} + 5 - 2{\rm{x}} - 4y + 8{\rm{x}} + 21 =  - 4y + 12{\rm{z}} + 26\]

\[M{C^2} = {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2a{\rm{x}} - 2by - 2c{\rm{z}} + {a^2} + {b^2} + {c^2}\]

\[ = 2{\rm{x}} + 4{\rm{z}} + 5 - 2a{\rm{x}} - 2by - 2c{\rm{x}} + {a^2} + {b^2} + {c^2} = \left( {2 - 2a} \right)x - 2by + \left( {4 - 2c} \right){\rm{z}} +  + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 5\]

Nên \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow M{A^2} = 4M{C^2};\forall M \in \left( S \right)\]

\[ \Leftrightarrow  - 4y + 12{\rm{z}} + 26 = 4\left[ {\left( {2 - 2{\rm{a}}} \right)x - 2by + \left( {4 - 2c} \right)z + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 5} \right];\forall x;y;z \in \mathbb{R}\]

 \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4\left( {2 - 2{\rm{a}}} \right) = 0}\\{4\left( { - 2b} \right) =  - 4}\\{4\left( {4 - 2c} \right) = 12}\\{4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 5} \right) = 26}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = \frac{1}{2}}\\{c = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow C\left( {1;\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

Lúc này, \(IC = \frac{{\sqrt {10} }}{2} < R < IB = 2\sqrt {37} \)  nên \(C\) nằm trong \(\left( S \right)\) còn \(B\) nằm ngoài \(\left( S \right)\) và

\(MA + 2MB = 2MC + 2MB = 2\left( {MC + MB} \right) \ge 2BC = 3\sqrt {82} \).

Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow M\) là giao điểm của đoạn \(BC\) và mặt cầu \(\left( S \right)\).

Vậy \(\min \left( {MA + 2MB} \right) = 3\sqrt {82} \). Do đó câu này đúng.

d) Gọi \(E\) là điểm thỏa mãn: \[2\overrightarrow {E{\rm{A}}}  + 3\overrightarrow {EB}  = \overrightarrow 0 \]. Suy ra \(E\left( { - 1;1;1} \right)\).

Xét \(P = 2M{A^2} + 3M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {E{\rm{A}}} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {EB} } \right)^2} = 5M{E^2} + 2E{A^2} + 3E{B^2}\).

\(P\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(ME\)đạt giá trị nhỏ nhất.

\(IE = 2\sqrt 3  > R\) suy ra điểm \(E\) nằm ngoài mặt cầu nên \(ME\) nhỏ nhất bằng \(IE - R = 2\sqrt 3  - \sqrt 3  = \sqrt 3 \)

Vậy \(P = 2M{A^2} + 3M{B^2} = 5M{E^2} + 2E{A^2} + 3E{B^2} = 105\). Do đó câu này đúng.