Cho hình chóp \(S.ABC\). Trên cạnh \(SA\), lấy điểm \(M\) sao cho \(SM = 2AM\). Trên cạnh \(BC\), lấy điểm \(N\) sao cho \(CN = 2BN\). Khi đó \(\overrightarrow {MN} = \frac{a}{b}\overrightarrow {AB} + \frac{c}{b}\overrightarrow {SC} \) với \(\,\frac{a}{b},\frac{c}{b}\) là các phân số tối giản. Tổng \(a + b + c\) bằng bao nhiêu?

Ta có \(\overrightarrow P = m\overrightarrow g \) nên \(P = \left| {\overrightarrow P } \right| = m \cdot \left| {\overrightarrow g } \right| = 10\) (N).

Bóng đèn ở vị trí cân bằng nên \(\overrightarrow P + \overrightarrow {{T_1}} + \overrightarrow {{T_2}} = \overrightarrow 0 \) hay \(\overrightarrow P = - \overrightarrow {T'} \) với \(\overrightarrow {T'} = \overrightarrow {{T_1}} + \overrightarrow {{T_2}} \).

Suy ra \(T' = P = 10\,{\rm{N}}\). Vì \({T_1} = {T_2}\) và \(\left( {\overrightarrow {{T_1}} ,\,\overrightarrow {{T_2}} } \right) = 60^\circ \) nên

\(\frac{{T'}}{2} = {T_1} \cdot \cos 30^\circ \Rightarrow {T_1} = \frac{{10}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\) (N).

Vậy lực căng của mỗi nửa sợi dây là \(\frac{{10\sqrt 3 }}{3}\,{\rm{N}}\).

Thời gian nếu đi trực tiếp từ A đến B trên sa mạc là \(\frac{{70}}{{30}} = \frac{7}{3} > 2\).

Do đó, nhà địa chất học không thể đến đúng thời gian quy định.

Vì vậy cần thiết phải chia quãng đường đi được thành 3 giai đoạn: \(A \to C \to D \to B\).

Đặt \(HC = x\,\,\left( {0 < x < 70} \right);DK = y\,\,\left( {0 < y < 70} \right)\).

Thời gian đi từ \(A \to C\) là \(\frac{{\sqrt {{{10}^2} + {x^2}} }}{{30}}\).

Thời gian đi từ \(C \to D\) là \(\frac{{70 - \left( {x + y} \right)}}{{50}}\).

Thời gian đi từ \(D \to B\) là \(\frac{{\sqrt {{{10}^2} + {y^2}} }}{{30}}\).

Tổng thời gian đi từ \(A \to B\) theo cách này là:

 \(\frac{{\sqrt {{{10}^2} + {x^2}} }}{{30}} + \frac{{70 - \left( {x + y} \right)}}{{50}} + \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {y^2}} }}{{30}} = \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {x^2}} }}{{30}} + \frac{{35 - x}}{{50}} + \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {y^2}} }}{{30}} + \frac{{35 - y}}{{50}} = f\left( x \right) + f\left( y \right)\).

Xét \(f\left( u \right) = \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {u^2}} }}{{30}} + \frac{{35 - u}}{{50}}\), \(0 < u < 70\).

Ta có \(f'\left( u \right) = \frac{u}{{30\sqrt {{{10}^2} + {u^2}} }} - \frac{1}{{50}};f'\left( u \right) = 0 \Rightarrow u = \frac{{15}}{2}\).

Lập bảng biến thiên ta được \(\mathop {\min }\limits_{u \in \left( {0;70} \right)} f\left( u \right) = f\left( {\frac{{15}}{2}} \right) = \frac{{29}}{{30}}\).

Khi đó \(f\left( x \right) + f\left( y \right) \ge \frac{{29}}{{30}} + \frac{{29}}{{30}} = \frac{{29}}{{15}} \approx 1,93\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = \frac{{15}}{2}\).

Vậy để đến B sớm nhất thì ông ta phải đi trên đoạn AC một khoảng 12,5 km, đoạn CD một khoảng 45 km và đi trên đoạn DB một khoảng 12,5 km.