Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các phương trình sau:

\(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + x - 2y + 4z - 3 = 0\),\(\left( {{S_2}} \right):2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - x - y - z = 0\) \(\left( {{S_3}} \right):2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 4x + 8y + 6z + 3 = 0\), \(\left( {{S_4}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0\).

Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

d) \(\left( {{S_4}} \right)\) không phải là phương trình của một mặt cầu.

Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) là phương trình của một mặt cầu nếu \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

\(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + x - 2y + 4z - 3 = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{2}\\b = 1\\c =  - 2\\d =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

\(\left( {{S_2}} \right):2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - x - y - z = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}z = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{4}\\b = \frac{1}{4}\\c = \frac{1}{4}\\d = 0\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

\(\left( {{S_3}} \right):2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 4x + 8y + 6z + 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y + 3z + \frac{3}{2} = 0\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 2\\c =  - \frac{3}{2}\\d = \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)         

\(\left( {{S_4}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c = 2\\d = 10\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d < 0\)