Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho ba điểm \[A\left( {1;2; - 4} \right)\], \[B\left( {1; - 3;1} \right)\], \[C\left( {2;2;3} \right)\]. Tính đường kính của mặt cầu \[\left( S \right)\] đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\].

Trong không gian hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) một trạm phát sóng điện thoại của nhà mạng Vinaphone được đặt ở vị trí \(I\left( {1; - 2; - 3} \right)\) và được thiết kế bán kính phủ sóng là \(5000m\).

a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng trong không gian.

b) Nhà bạn Minh Hiền và bạn Trúc Linh có vị trí tọa độ lần lượt là \(M\left( {1;2;0} \right)\) và \(N\left( { - 3;1;0} \right)\). Hỏi Minh Hiền và Trúc Linh dùng điện thoại tại nhà thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này không?

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\) và hình nón \(\left( H \right)\) có đỉnh \(A\left( {3;2; - 2} \right)\) và nhận \(AI\) làm trục đối xứng với \(I\) là tâm mặt cầu. Một đường sinh của hình nón \(\left( H \right)\) cắt mặt cầu tại \(M,{\rm{ }}N\) sao cho \(AM = 3AN\). Viết phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu \(\left( S \right)\) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón \(\left( H \right)\).

Trong không gian \(Oxyz\), tìm giá trị dương của \(m\) sao cho mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = {m^2} + 1\).

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(A\left( { - 1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;0;2} \right)\), \(C\left( {0; - 3;0} \right)\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\).

Trong không gian \(Oxyz\), gọi \(I\left( {a;\,b;\,c} \right)\) là tâm mặt cầu đi qua điểm \(A\left( {1;\, - 1;\,4} \right)\) và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính \(P = a - b + c\).

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A\left( {0; - 1;2} \right)\), \(B\left( {2; - 3;0} \right)\), \(C\left( { - 2;1;1} \right)\), \(D\left( {0; - 1;3} \right)\). Gọi \(\left( L \right)\) là tập hợp tất cả các điểm \(M\) trong không gian thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD}  = 1\). Biết rằng \(\left( L \right)\) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính \(r\) bằng bao nhiêu?

Né́u đứng trước biển và nhìn ra xa, người ta sẽ thấy một đường giao giữa mặt biển và bầu trời, đó là đường chân trời đối với người quan sát (H.5.45a). Về mặt Vật lí, đường chân trời là đường giới hạn phần Trái Đất mà người quan sát có thể nhìn thấy được (phần còn lại bị chính Trái Đất che khuất). Ta có thể hình dung rằng, nếu người quan sát ở tại đỉnh của một chiếc nón và Trái Đát được "thả" vào trong chiếc nón đó, thì đường chân trời trong trường hợp này là đường chạm giữa Trái Đất và chiếc nón (H.5.45b). Trong mô hình toán học, đường chân trời đối với người quan sát tại vị trí \(B\) là tập hợp những điểm \(A\) nằm trên bề mặt Trái Đất sao cho $\widehat{\text{BAO}}={90}^{°}$, với O là tâm Trái Đất (H.5.45c). Trong không gian Oxyz, giả sử bề mặt Trái Đất \((S)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) và người quan sát ở vị trí \(B(1,1; - 1)\).

Gọi \(A\) là một vị trí bất kì trên đường chân trời đối với người quan sát ở vị trí \(B\). Tính khoảng cách AB.