Có hai chiếc hộp, hộp I chứa 5 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen, hộp II chứa 6 viên bi màu trắng và 4 viên bi màu đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II . Sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II.

a) Tính xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng.

b) Giả sử viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng. Tính xác suất để viên bi màu trắng đó thuộc hộp I .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 38 bài tập Tính xác suất bằng cách sử dụng công thức Bayes (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Xét các biến cố:

A: "Lấy được viên bi màu trắng từ hộp II ";

\(B\) : "Lấy được viên bi màu trắng từ hộp I bỏ sang hộp II";

\(\bar B\) : "Lấy được viên bi màu đen từ hộp I bỏ sang hộp II".

Theo giả thiết ta có: \({\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(\bar B) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2};{\rm{P}}(A\mid B) = \frac{7}{{11}};{\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{6}{{11}}.\)

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{{11}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}.\)

Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng là \(\frac{{13}}{{22}}\).

b) Gọi \(N\) là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi thuộc hộp I ". Khi đó ta cần tính \({\rm{P}}(N\mid A)\).

Ta có: \({\rm{P}}(N) = \frac{1}{{11}};{\rm{P}}(A) = \frac{{13}}{{22}}\). Để tính \({\rm{P}}(A\mid N)\), hay xác suất để lấy được viên bi màu trắng từ hộp II , biết rằng viên bi đó thuộc hộp I , ta xét các trường hợp sau:

- Viên bi được lấy từ hộp I bỏ sang hộp II có màu đen. Khi đó xác suất lấy được viên bi trắng thuộc hộp I bằng 0 .

- Viên bi được lấy từ hộp I bỏ sang hộp II có màu trắng. Khi đó xác suất lấy được viên bi màu trắng thuộc hộp I bằng \({\rm{P}}(B) = \frac{1}{2}\).

Do đó, \({\rm{P}}(A\mid N) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\). Theo công thức Bayes, ta có:

\({\rm{P}}(N\mid A) = \frac{{{\rm{P}}(A\mid N) \cdot {\rm{P}}(N)}}{{{\rm{P}}(A)}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{11}}}}{{\frac{{13}}{{22}}}} = \frac{1}{{13}}.\)

Vậy xác suất viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi thuộc hộp I , biết rằng viên bi đó màu trắng, là \(\frac{1}{{13}}\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Năm 2001, Cộng đồng châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Không có xét nghiệm nào cho kết quả chính xác \(100\% \). Một loại xét nghiệm, mà ở đây ta gọi là xét nghiệm A , cho kết quả như sau: Khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm \({\rm{Al\`a }}70\% \), còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là \(10\% \). Biết rằng tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 13 con trên 1000000 con (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics - Understanding why and how, Springer, 2005). Hỏi khi một con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị mắc bệnh bò điên là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Xét các biến cố:

M: "Con bò ở Hà Lan bị bệnh bò điên";

D: "Con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A ".

Theo giả thiết, ta có: \({\rm{P}}(M) = 0,000013;{\rm{P}}(D\mid M) = 0,7;{\rm{P}}(D\mid \bar M) = 0,1\).

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

\({\rm{P}}(D) = {\rm{P}}(M) \cdot {\rm{P}}(D\mid M) + {\rm{P}}(\bar M) \cdot {\rm{P}}(D\mid \bar M) = 0,000013 \cdot 0,7 + (1 - 0,000013) \cdot 0,1\)\( = 0,1000078.\)

Theo công thức Bayes, ta có: \(P(M\mid D) = \frac{{{\rm{P}}(M) \cdot {\rm{P}}(D\mid M)}}{{{\rm{P}}(D)}} = \frac{{0,000013 \cdot 0,7}}{{0,1000078}} = \frac{{91}}{{1000078}}.\)

Vậy xác suất để một con bò Hà Lan bị bệnh bò điên nếu nó phản ứng dương tính với xét nghiệm A là \(\frac{{91}}{{1000078}}\).

Câu 2

Cho hai biến cố xung khắc \(A\), \(B\) với \({\rm{P}}(A) = 0,2;{\rm{P}}(B) = 0,4\). Tính \({\rm{P}}(A\mid B)\).

Xem đáp án

Lời giải

Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên \({\rm{A}} \cap {\rm{B}} = \emptyset \), do đó \({\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) = 0\). Khi đó, \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = \frac{0}{{0,4}} = 0\)

Câu 3