Năm 2001, Cộng đồng châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Không có xét nghiệm nào cho kết quả chính xác \(100\% \). Một loại xét nghiệm, mà ở đây ta gọi là xét nghiệm A , cho kết quả như sau: Khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm \({\rm{Al\`a }}70\% \), còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là \(10\% \). Biết rằng tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 13 con trên 1000000 con (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics - Understanding why and how, Springer, 2005). Hỏi khi một con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị mắc bệnh bò điên là bao nhiêu?
Năm 2001, Cộng đồng châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Không có xét nghiệm nào cho kết quả chính xác \(100\% \). Một loại xét nghiệm, mà ở đây ta gọi là xét nghiệm A , cho kết quả như sau: Khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm \({\rm{Al\`a }}70\% \), còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là \(10\% \). Biết rằng tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 13 con trên 1000000 con (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics - Understanding why and how, Springer, 2005). Hỏi khi một con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị mắc bệnh bò điên là bao nhiêu?
Quảng cáo
Trả lời:
Xét các biến cố:
M: "Con bò ở Hà Lan bị bệnh bò điên";
D: "Con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A ".
Theo giả thiết, ta có: \({\rm{P}}(M) = 0,000013;{\rm{P}}(D\mid M) = 0,7;{\rm{P}}(D\mid \bar M) = 0,1\).
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}(D) = {\rm{P}}(M) \cdot {\rm{P}}(D\mid M) + {\rm{P}}(\bar M) \cdot {\rm{P}}(D\mid \bar M) = 0,000013 \cdot 0,7 + (1 - 0,000013) \cdot 0,1\)\( = 0,1000078.\)
Theo công thức Bayes, ta có: \(P(M\mid D) = \frac{{{\rm{P}}(M) \cdot {\rm{P}}(D\mid M)}}{{{\rm{P}}(D)}} = \frac{{0,000013 \cdot 0,7}}{{0,1000078}} = \frac{{91}}{{1000078}}.\)
Vậy xác suất để một con bò Hà Lan bị bệnh bò điên nếu nó phản ứng dương tính với xét nghiệm A là \(\frac{{91}}{{1000078}}\).
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi \(A\) là biến cố: "Bà \(N\) bị bệnh hiểm nghèo \(Y\) "; \(B\) là biến cố: "Xét nghiệm cho kết quả dương tính".
a) Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo Y của bà N là
\(P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0,005 = 0,995.{\rm{ }}\)
b) Ta cần tính \(P(\bar A\mid \bar B)\).
Theo công thức Bayes ta có: \(P(\bar A\mid \bar B) = \frac{{P(\bar A) \cdot P(\bar B\mid \bar A)}}{{P(\bar A) \cdot P(\bar B\mid \bar A) + P(A) \cdot P(\bar B\mid A)}}.\)
\(P(\bar B\mid \bar A)\) là xác suất để bà \(N\) có xét nghiệm là âm tính nếu bà \(N\) không bị bệnh \(Y\).
Theo bài ra ta có: \(P(\bar B\mid \bar A) = 0,97{\rm{;}}\)
\(P(\bar B\mid A)\) là xác suất để bà N có xét nghiệm âm tính nếu bà N bị bệnh Y
\(P(\bar B\mid A) = 1 - 0,94 = 0,06.{\rm{ }}\)
Thay vào công thức Bayes ta có: \(P(\bar A\mid \bar B) = \frac{{0,995 \cdot 0,97}}{{0,995 \cdot 0,97 + 0,005 \cdot 0,06}} \approx 0,9997.\)
Như vậy, với xét nghiệm cho kết quả âm tính, xác suất không mắc bệnh Y của bà N tăng lên thành \(99,97\% \) (trước xét nghiệm là \(99,5\% \) ).
Lời giải
a) Xét hai biến cố:
A: "Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện tốt”;
B: "Linh kiện được lấy ra từ lô hàng do nhà máy I sản xuất".
Vi lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I và 120 sản phẩm của nhà máy số II nên \(P(B) = \frac{{80}}{{80 + 120}} = 0,4\), suy ra \(P(\bar B) = 1 - 0,4 = 0,6\).
Vì tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I, II lần lượt là: \(4\% ;3\% \) nên tỉ lệ thành phẩm (linh kiện tốt) của các nhà máy I, II lần lượt là \(96\% ;97\% \).
Do đó \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = 0,96\) và \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,97\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt là:
\({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,4 \cdot 0,96 + 0,6 \cdot 0,97 = 0,966.\)
b) Xét biến cố C: "Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện phế phẩm".
Khi đó, ta có \({\rm{C}} = \bar A\). Suy ra \({\rm{P}}({\rm{C}}) = {\rm{P}}(\bar A) = 1 - {\rm{P}}({\rm{A}}) = 1 - 0,966 = 0,034\).
Theo bài ra ta có: \(P(C\mid B) = 4\% = 0,04\).
Do đó, nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy I sản xuất là: \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{C}}) = \frac{{P(B) \cdot P(C\mid B)}}{{P(C)}} = \frac{{0,4 \cdot 0,04}}{{0,034}} = \frac{8}{{17}}\).
Nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy II sản xuất là: \({\rm{P}}(\bar B\mid {\rm{C}}) = 1 - {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{C}}) = 1 - \frac{8}{{17}} = \frac{9}{{17}}\).
Vi \(\frac{9}{{17}} > \frac{8}{{17}}\) nên nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất linh kiện đó do nhà máy II sản xuất là cao hơn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.