Câu hỏi:

23/08/2025 42 Lưu

Trong một kho rượu có \(30\% \) là rượu loại I. Chọn ngã̃u nhiên một chai rượu đưa cho ông Tùng, một người sành rượu, để nếm thử. Biết rằng, một chai rượu loại I có xác suất 0,9 để ông Tùng xác nhận là loại I ; một chai rượu không phải loại I có xác suất 0,95 để ông Tùng xác nhận đây không phải là loại I. Sau khi nếm, ông Tùng xác nhận đây là rượu loại I. Tính xác suất để chai rượu đúng là rượu loại I.

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Gọi A là biến cố: "Chai rượu là rượu loại l";

B là biến cố: "Ông Tùng xác nhận nhận đây là rượu loại I".

Bài toán yêu cầu tính \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}})\).

Áp dụng công thức Bayes ta có: \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}}{\rm{. }}\)

Ta cần xác định \({\rm{P}}({\rm{A}}),P(\bar A),{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}})\) và \(P(B\mid \bar A)\).

Vi kho rượu có \(30\% \) là rượu loại I nên \({\rm{P}}({\rm{A}}) = 30\%  = 0,3\).

Suy ra \(P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0,3 = 0,7\).

\({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}})\) là xác suất để một chai rượu loại I được ông Tùng xác nhận là rượu Ioại I.

Theo bài ra ta có \(P(B\mid A) = 0,9\).

\(P(B\mid \bar A)\) là xác suất để một chai rượu không phải loại I được ông Tùng xác nhận là rượu loại I.

Theo đề bài ta có \(P(B\mid \bar A) = 1 - 0,95 = 0,05\).

Thay vào công thức Bayes ta được

\({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}}\)\( = \frac{{0,3 \cdot 0,9}}{{0,3 \cdot 0,9 + 0,7 \cdot 0,05}} \approx 0,8852.\)

Vậy xác suất để chai rượu đúng là rượu loại I là khoảng 0,8852 .

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Gọi \(A\) là biến cố: "Bà \(N\) bị bệnh hiểm nghèo \(Y\) "; \(B\) là biến cố: "Xét nghiệm cho kết quả dương tính".

a) Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo Y của bà N là

\(P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0,005 = 0,995.{\rm{ }}\)

b) Ta cần tính \(P(\bar A\mid \bar B)\).

Theo công thức Bayes ta có: \(P(\bar A\mid \bar B) = \frac{{P(\bar A) \cdot P(\bar B\mid \bar A)}}{{P(\bar A) \cdot P(\bar B\mid \bar A) + P(A) \cdot P(\bar B\mid A)}}.\)

\(P(\bar B\mid \bar A)\) là xác suất để bà \(N\) có xét nghiệm là âm tính nếu bà \(N\) không bị bệnh \(Y\).

Theo bài ra ta có: \(P(\bar B\mid \bar A) = 0,97{\rm{;}}\)

\(P(\bar B\mid A)\) là xác suất để bà N có xét nghiệm âm tính nếu bà N bị bệnh Y

\(P(\bar B\mid A) = 1 - 0,94 = 0,06.{\rm{ }}\)

Thay vào công thức Bayes ta có: \(P(\bar A\mid \bar B) = \frac{{0,995 \cdot 0,97}}{{0,995 \cdot 0,97 + 0,005 \cdot 0,06}} \approx 0,9997.\)

Như vậy, với xét nghiệm cho kết quả âm tính, xác suất không mắc bệnh Y của bà N tăng lên thành \(99,97\% \) (trước xét nghiệm là \(99,5\% \) ).

Lời giải

a) Xét hai biến cố: \(K\) : "Người được chọn ra không mắc bệnh";

\(D\) : "Người được chọn ra có phản ứng dương tính".

Do tỉ lệ người mắc bệnh là \(0,1\%  = 0,001\) nên \({\rm{P}}(K) = 1 - 0,001 = 0,999\).

Trong số những người không mắc bệnh có \(5\% \) số người có phản ứng dương tính nên \({\rm{P}}(D\mid K) = 5\%  = 0,05\). Vì ai mắc bệnh khi xét nghiệm cũng có phản ứng dương tính nên \({\rm{P}}(D\mid \bar K) = 1\).

Sơ đồ hình cây ở Hình 3 biểu thi tình huống đã cho.

Giả sử có một loại bệnh mà tỉ lệ người mắc bệnh là 0,1 phần trăm. Giả sử có một loại xét nghiệm, mà ai mắc bệnh khi xét nghiệm cũng có phản ứng dương tính (ảnh 1)

b) Ta thấy: Khả năng mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính chính là \({\rm{P}}(\bar K\mid D)\). Áp dụng công thức Bayes, ta có:

\({\rm{P}}(\bar K\mid D) = \frac{{{\rm{P}}(\bar K) \cdot {\rm{P}}(D\mid \bar K)}}{{{\rm{P}}(\bar K) \cdot {\rm{P}}(D\mid \bar K) + {\rm{P}}(K) \cdot {\rm{P}}(D\mid K)}} = \frac{{0,001}}{{0,001 + 0,999 \cdot 0,05}} \approx 1,96\% .\)

Vậy xác suất mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính là \(1,96\% \).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP