Câu hỏi:

23/08/2025 54

Trong một kho rượu có \(30\% \) là rượu loại I. Chọn ngã̃u nhiên một chai rượu đưa cho ông Tùng, một người sành rượu, để nếm thử. Biết rằng, một chai rượu loại I có xác suất 0,9 để ông Tùng xác nhận là loại I ; một chai rượu không phải loại I có xác suất 0,95 để ông Tùng xác nhận đây không phải là loại I. Sau khi nếm, ông Tùng xác nhận đây là rượu loại I. Tính xác suất để chai rượu đúng là rượu loại I.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 38 bài tập Tính xác suất bằng cách sử dụng công thức Bayes (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi A là biến cố: "Chai rượu là rượu loại l";

B là biến cố: "Ông Tùng xác nhận nhận đây là rượu loại I".

Bài toán yêu cầu tính \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}})\).

Áp dụng công thức Bayes ta có: \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}}{\rm{. }}\)

Ta cần xác định \({\rm{P}}({\rm{A}}),P(\bar A),{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}})\) và \(P(B\mid \bar A)\).

Vi kho rượu có \(30\% \) là rượu loại I nên \({\rm{P}}({\rm{A}}) = 30\% = 0,3\).

Suy ra \(P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0,3 = 0,7\).

\({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}})\) là xác suất để một chai rượu loại I được ông Tùng xác nhận là rượu Ioại I.

Theo bài ra ta có \(P(B\mid A) = 0,9\).

\(P(B\mid \bar A)\) là xác suất để một chai rượu không phải loại I được ông Tùng xác nhận là rượu loại I.

Theo đề bài ta có \(P(B\mid \bar A) = 1 - 0,95 = 0,05\).

Thay vào công thức Bayes ta được

\({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}}\)\( = \frac{{0,3 \cdot 0,9}}{{0,3 \cdot 0,9 + 0,7 \cdot 0,05}} \approx 0,8852.\)

Vậy xác suất để chai rượu đúng là rượu loại I là khoảng 0,8852 .

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một thống kê cho thấy tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo Y là \(0,5\% \). Bà N đi xét nghiệm bệnh hiểm nghèo \(Y\) và nhận được kết quả là âm tính. Biết rằng, nếu mắc bệnh hiểm nghèo \(Y\) thì với xác suất 0,94 xét nghiệm là dương tính; nếu không bị bệnh hiểm nghèo \(Y\) thì với xác suất 0,97 xét nghiệm là âm tính.

a) Trước khi tiến hành xét nghiệm xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo Y của bà N là bao nhiêu?

b) Sau khi xét nghiệm cho kết quả âm tính, xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo Y của bà N là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi \(A\) là biến cố: "Bà \(N\) bị bệnh hiểm nghèo \(Y\) "; \(B\) là biến cố: "Xét nghiệm cho kết quả dương tính".

a) Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo Y của bà N là

\(P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0,005 = 0,995.{\rm{ }}\)

b) Ta cần tính \(P(\bar A\mid \bar B)\).

Theo công thức Bayes ta có: \(P(\bar A\mid \bar B) = \frac{{P(\bar A) \cdot P(\bar B\mid \bar A)}}{{P(\bar A) \cdot P(\bar B\mid \bar A) + P(A) \cdot P(\bar B\mid A)}}.\)

\(P(\bar B\mid \bar A)\) là xác suất để bà \(N\) có xét nghiệm là âm tính nếu bà \(N\) không bị bệnh \(Y\).

Theo bài ra ta có: \(P(\bar B\mid \bar A) = 0,97{\rm{;}}\)

\(P(\bar B\mid A)\) là xác suất để bà N có xét nghiệm âm tính nếu bà N bị bệnh Y

\(P(\bar B\mid A) = 1 - 0,94 = 0,06.{\rm{ }}\)

Thay vào công thức Bayes ta có: \(P(\bar A\mid \bar B) = \frac{{0,995 \cdot 0,97}}{{0,995 \cdot 0,97 + 0,005 \cdot 0,06}} \approx 0,9997.\)

Như vậy, với xét nghiệm cho kết quả âm tính, xác suất không mắc bệnh Y của bà N tăng lên thành \(99,97\% \) (trước xét nghiệm là \(99,5\% \) ).

Câu 2

Một loại linh kiện do hai nhà máy số I , số II cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy \({\rm{I}},{\rm{II}}\) lần lượt là: \(4\% ;3\% \). Trong một lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I và 120 sản phẩm của nhà máy số II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ lô hàng đó.

a) Tính xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt.

b) Giả sử linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm. Xác suất linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao nhất?

Xem đáp án

Lời giải

a) Xét hai biến cố:

A: "Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện tốt”;

B: "Linh kiện được lấy ra từ lô hàng do nhà máy I sản xuất".

Vi lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I và 120 sản phẩm của nhà máy số II nên \(P(B) = \frac{{80}}{{80 + 120}} = 0,4\), suy ra \(P(\bar B) = 1 - 0,4 = 0,6\).

Vì tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I, II lần lượt là: \(4\% ;3\% \) nên tỉ lệ thành phẩm (linh kiện tốt) của các nhà máy I, II lần lượt là \(96\% ;97\% \).

Do đó \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = 0,96\) và \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,97\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt là:

\({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,4 \cdot 0,96 + 0,6 \cdot 0,97 = 0,966.\)

b) Xét biến cố C: "Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện phế phẩm".

Khi đó, ta có \({\rm{C}} = \bar A\). Suy ra \({\rm{P}}({\rm{C}}) = {\rm{P}}(\bar A) = 1 - {\rm{P}}({\rm{A}}) = 1 - 0,966 = 0,034\).

Theo bài ra ta có: \(P(C\mid B) = 4\% = 0,04\).

Do đó, nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy I sản xuất là: \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{C}}) = \frac{{P(B) \cdot P(C\mid B)}}{{P(C)}} = \frac{{0,4 \cdot 0,04}}{{0,034}} = \frac{8}{{17}}\).

Nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy II sản xuất là: \({\rm{P}}(\bar B\mid {\rm{C}}) = 1 - {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{C}}) = 1 - \frac{8}{{17}} = \frac{9}{{17}}\).

Vi \(\frac{9}{{17}} > \frac{8}{{17}}\) nên nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất linh kiện đó do nhà máy II sản xuất là cao hơn.

Câu 3