Câu hỏi:

23/08/2025 101 Lưu

Trong \(Y\) học, để chẩn đoán bệnh \(X\) nào đó, người ta thường dùng một xét nghiệm. Xét nghiệm dương tính, tức là xét nghiệm đó kết luận một người mắc bệnh \(X\). Xét nghiệm âm tính, tức là xét nghiệm đó kết luận một người không mắc bệnh \(X\). Vỉ không có một xét nghiệm nào tuyệt đối đưng nên trên thực tế có thể xảy ra hai sai lầm sau:

- Xét nghiệm dương tính nhưng thực tế người xét nghiệm không mắc bệnh. Ta gọi đây là dương tính giả.

- Xét nghiệm âm tính nhưng thực tế người xét nghiệm lại mắc bệnh. Ta gọi đây là âm tính giả.

Ông \(M\) đi xét nghiệm bệnh hiểm nghèo \(X\). Biết rằng, nếu một người mắc bệnh \(X\) thì với xác suất 0,95 xét nghiệm cho dương tính; nếu một người không bị bệnh \(X\) thì với xác suất 0,01 xét nghiệm cho dương tính.

Xét nghiệm của ông \(M\) cho kết quả dương tính. Ông \(M\) hoảng hốt khi nghĩ rằng mình có xác suất 0,95 mắc bệnh hiểm nghèo \(X\).

Thống kê cho thấy tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo X là \(0,2\% \).

a) Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo \(X\) của ông M là bao nhiêu?

b) Sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo \(X\) của ông M là bao nhiêu?

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Vỉ thống kê cho thấy tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo \(X\) là \(0,2\% \) nên trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M là \({\rm{p}} = \) \(0,2\%  = 0,002\).

b) Gọi A là biến cố: "Ông M mắc bệnh hiểm nghèo X "; B là biến cố: "Xét nghiệm cho kết quả dương tính".

Khi đó xác suất mắc bệnh hiểm nghèo \(X\) của ông \(M\) sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính chính là xác suất \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}})\).

Áp dụng công thức ta có: \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}}.\)

Theo câu a) ta có: \(P(A) = p = 0,002\). Suy ra \(P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0,002 = 0,998\).

\({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}})\) là xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính nếu ông M mắc bệnh hiểm nghèo \(X\). Theo bài ra ta có \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,95\).

\({\rm{P}}({\rm{B}}\mid \bar A)\) là xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính nếu ông M không mắc bệnh hiểm nghèo X . Theo bài ra ta có \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid \bar A) = 0,01\).

Khi đó, thay vào công thức Bayes ta được: \(P(A\mid B) = \frac{{0,002 \cdot 0,95}}{{0,002 \cdot 0,95 + 0,998 \cdot 0,01}} \approx 0,16.{\rm{ }}\)

Vậy sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo \(X\) của ông \(M\) là khoảng 0,16 .

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Gọi \(A\) là biến cố: "Bà \(N\) bị bệnh hiểm nghèo \(Y\) "; \(B\) là biến cố: "Xét nghiệm cho kết quả dương tính".

a) Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo Y của bà N là

\(P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0,005 = 0,995.{\rm{ }}\)

b) Ta cần tính \(P(\bar A\mid \bar B)\).

Theo công thức Bayes ta có: \(P(\bar A\mid \bar B) = \frac{{P(\bar A) \cdot P(\bar B\mid \bar A)}}{{P(\bar A) \cdot P(\bar B\mid \bar A) + P(A) \cdot P(\bar B\mid A)}}.\)

\(P(\bar B\mid \bar A)\) là xác suất để bà \(N\) có xét nghiệm là âm tính nếu bà \(N\) không bị bệnh \(Y\).

Theo bài ra ta có: \(P(\bar B\mid \bar A) = 0,97{\rm{;}}\)

\(P(\bar B\mid A)\) là xác suất để bà N có xét nghiệm âm tính nếu bà N bị bệnh Y

\(P(\bar B\mid A) = 1 - 0,94 = 0,06.{\rm{ }}\)

Thay vào công thức Bayes ta có: \(P(\bar A\mid \bar B) = \frac{{0,995 \cdot 0,97}}{{0,995 \cdot 0,97 + 0,005 \cdot 0,06}} \approx 0,9997.\)

Như vậy, với xét nghiệm cho kết quả âm tính, xác suất không mắc bệnh Y của bà N tăng lên thành \(99,97\% \) (trước xét nghiệm là \(99,5\% \) ).

Lời giải

a) Xét hai biến cố:

A: "Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện tốt”;

B: "Linh kiện được lấy ra từ lô hàng do nhà máy I sản xuất".

Vi lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I và 120 sản phẩm của nhà máy số II nên \(P(B) = \frac{{80}}{{80 + 120}} = 0,4\), suy ra \(P(\bar B) = 1 - 0,4 = 0,6\).

Vì tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I, II lần lượt là: \(4\% ;3\% \) nên tỉ lệ thành phẩm (linh kiện tốt) của các nhà máy I, II lần lượt là \(96\% ;97\% \).

Do đó \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = 0,96\) và \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,97\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt là:

\({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,4 \cdot 0,96 + 0,6 \cdot 0,97 = 0,966.\)

b) Xét biến cố C: "Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện phế phẩm".

Khi đó, ta có \({\rm{C}} = \bar A\). Suy ra \({\rm{P}}({\rm{C}}) = {\rm{P}}(\bar A) = 1 - {\rm{P}}({\rm{A}}) = 1 - 0,966 = 0,034\).

Theo bài ra ta có: \(P(C\mid B) = 4\%  = 0,04\).

Do đó, nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy I sản xuất là: \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{C}}) = \frac{{P(B) \cdot P(C\mid B)}}{{P(C)}} = \frac{{0,4 \cdot 0,04}}{{0,034}} = \frac{8}{{17}}\).

Nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy II sản xuất là: \({\rm{P}}(\bar B\mid {\rm{C}}) = 1 - {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{C}}) = 1 - \frac{8}{{17}} = \frac{9}{{17}}\).

Vi \(\frac{9}{{17}} > \frac{8}{{17}}\) nên nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất linh kiện đó do nhà máy II sản xuất là cao hơn.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP