Trong \(Y\) học, để chẩn đoán bệnh \(X\) nào đó, người ta thường dùng một xét nghiệm. Xét nghiệm dương tính, tức là xét nghiệm đó kết luận một người mắc bệnh \(X\). Xét nghiệm âm tính, tức là xét nghiệm đó kết luận một người không mắc bệnh \(X\). Vỉ không có một xét nghiệm nào tuyệt đối đưng nên trên thực tế có thể xảy ra hai sai lầm sau:

- Xét nghiệm dương tính nhưng thực tế người xét nghiệm không mắc bệnh. Ta gọi đây là dương tính giả.

- Xét nghiệm âm tính nhưng thực tế người xét nghiệm lại mắc bệnh. Ta gọi đây là âm tính giả.

Ông \(M\) đi xét nghiệm bệnh hiểm nghèo \(X\). Biết rằng, nếu một người mắc bệnh \(X\) thì với xác suất 0,95 xét nghiệm cho dương tính; nếu một người không bị bệnh \(X\) thì với xác suất 0,01 xét nghiệm cho dương tính.

Xét nghiệm của ông \(M\) cho kết quả dương tính. Ông \(M\) hoảng hốt khi nghĩ rằng mình có xác suất 0,95 mắc bệnh hiểm nghèo \(X\).

Thống kê cho thấy tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo X là \(0,2\% \).

a) Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo \(X\) của ông M là bao nhiêu?

b) Sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo \(X\) của ông M là bao nhiêu?

Năm 2001, Cộng đồng châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Không có xét nghiệm nào cho kết quả chính xác \(100\% \). Một loại xét nghiệm, mà ở đây ta gọi là xét nghiệm A , cho kết quả như sau: Khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm \({\rm{Al\`a }}70\% \), còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là \(10\% \). Biết rằng tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 13 con trên 1000000 con (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics - Understanding why and how, Springer, 2005). Hỏi khi một con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị mắc bệnh bò điên là bao nhiêu?

Một xạ thủ bắn vào bia số 1 và bia số 2 . Xác suất để xạ thủ đó bắn trúng bia số 1 , bia số 2 lần lượt là 0,8 ; 0,9. Xác suất để xạ thủ đó bắn trúng cả hai bia là 0,8 . Xét hai biến cố sau:

A: "Xạ thủ đó bắn trúng bia số 1";

B: "Xạ thủ đó bắn trúng bia số 2".

a) Hai biến cố \(A\) và \(B\) có độc lập hay không?

b) Biết xạ thủ đó bắn trúng bia số 1 , tính xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2 .

c) Biết xạ thủ đó không bắn trúng bia số 1, tính xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2 .

Một chiếc hộp có 40 viên bi, trong đó có 12 viên bi màu đỏ và 28 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Ngân lấy ngẫu nhiên viên bi từ chiếc hộp đó hai lần, mỗi lần lấy ra một viên bi và viên bi được lấy ra không bỏ lại hộp. Tính xác suất để cả hai lần bạn Ngân đều lấy ra được viên bi màu vàng.

Có hai cái hộp giống nhau, hộp thứ nhất chứa 5 quả bóng bàn màu trắng và 3 quả bóng bàn màu vàng, hộp thứ hai chứa 4 quả bóng bàn màu trắng và 6 quả bóng bàn màu vàng. Các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Minh lấy ra ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp thứ nhất. Nếu quả bóng đó là bóng vàng thì Minh lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 quả bóng từ hộp thứ hai; nếu quả bóng đó màu trắng thì Minh lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 3 quả bóng từ hộp thứ hai.

a) Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất để có đúng 1 quả bóng màu vàng trong các quả bóng lấy ra từ hộp thứ hai.

b) Biết rằng các quả bóng lấy ra từ hộp thứ hai đều có màu trắng. Tính xác suất để quả bóng lấy ra từ hộp thứ nhất có màu vàng.

Khảo sát thị lực của 100 học sinh, ta thu được bảng số liệu sau:

Chọn ngã̃u nhiên 1 bạn trong 100 học sinh trên.

a) Biết rằng bạn đó có tật khúc xạ, tính xác suắt bạn đó là học sinh nam.

b) Biết rằng bạn đó là học sinh nam, tính xác suắt bạn đó có tật khúc xạ.

Một nhà máy có hai phân xường I và II. Phân xường I sản xuất \(40\% \) số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất \(60\% \) số sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là \(2\% \) và của phân xưởng II là \(1\% \). Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy.

a) Tính xác suất để sản phẩm đó bị lỗi.

b) Biết rằng sản phẩm được kiểm tra bị lỗi. Hỏi xác suất sản phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất cao hơn?

Một loại xét nghiệm nhanh SARS-CoV-2 cho kết quá dương tính với \(76,2\% \) các ca thực sự nhiểm virus và kết quả âm tích với \(99,1\% \) các ca thực sự không nhiểm virus (nguồn: https://tapchiyhocvietnam.vn/index.php/vmj/article/view/2124/1921). Giả sử tỉ lệ người nhiểm virus SARS-CoV-2 trong một cộng đồng là \(1\% \). Một người trong cộng đồng đó làm xét nghiệm và nhận kết quả dương tính. Hói khả năng người đó thực sự nhiễm virus là cao hay thấp?