Câu hỏi:

23/08/2025 54 Lưu

Có hai đội thi đấu môn Bắn súng. Đội I có 5 vận động viên, đội II có 7 vận động viên. Xác suất đạt huy chương vàng của mỗi vận động viên đội I và đội ll tương ứng là 0,65 và 0,55 . Chọn ngẫu nhiên một vận động viên.

a) Tính xác suất để vận động viên này đạt huy chương vàng;

b) Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương vàng. Tính xác suất để vận động viên này thuộc đội \(I\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Gọi A là biến cố: "VĐV được chọn thuộc đội I";

B là biến cố: "VĐV được chọn thuộc đội II";

E là biến cố: "VĐV được chọn đạt .

(Với VĐV: vận động viên, HCV : huy chương vàng).

Ta có \({\rm{B}} = \bar A\).

Ta cần tính \({\rm{P}}({\rm{E}})\). Theo công thức xác suất toàn phần, ta có

\({\rm{P}}({\rm{E}}) = {\rm{P}}({\rm{A}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{E}}\mid {\rm{A}}) + P(\bar A) \cdot P(E\mid \bar A){\rm{. }}\)

Theo bài ra ta có: \(P(A) = \frac{5}{{12}},P(\bar A) = P(B) = \frac{7}{{12}}\).

\({\rm{P}}({\rm{E}}\mid {\rm{A}})\) là xác suất để VĐV thuộc đội I đoạt HCV . Theo bài ra ta có \({\rm{P}}({\rm{E}}\mid {\rm{A}}) = \) 0,65 .

\(P(E\mid \bar A)\) là xác suất để V \(V\) thuộc đội II đoạt HCV . Theo bài ra ta có \(P(E\mid \bar A) = 0,55\).

Thay vào ta được \({\rm{P}}({\rm{E}}) = \frac{5}{{12}} \cdot 0,65 + \frac{7}{{12}} \cdot 0,55 \approx 0,5917\).

Vậy xác suất để vận động viên này đạt huy chương vàng là khoảng 0,5917 .

b) Ta có xác suất để vận động viên được chọn thuộc đội I, biết rằng vận động viên này đạt huy chương vàng, chính là xác suất \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{E}})\).

Theo công thức Bayes và kết quả ở câu a) ta có

\(P(A\mid E) = \frac{{P(A) \cdot P(E\mid A)}}{{P(E)}} \approx \frac{{\frac{5}{{12}} \cdot 0,65}}{{0,5917}} \approx 0,4577\)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Gọi \(A\) là biến cố: "Bà \(N\) bị bệnh hiểm nghèo \(Y\) "; \(B\) là biến cố: "Xét nghiệm cho kết quả dương tính".

a) Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo Y của bà N là

\(P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0,005 = 0,995.{\rm{ }}\)

b) Ta cần tính \(P(\bar A\mid \bar B)\).

Theo công thức Bayes ta có: \(P(\bar A\mid \bar B) = \frac{{P(\bar A) \cdot P(\bar B\mid \bar A)}}{{P(\bar A) \cdot P(\bar B\mid \bar A) + P(A) \cdot P(\bar B\mid A)}}.\)

\(P(\bar B\mid \bar A)\) là xác suất để bà \(N\) có xét nghiệm là âm tính nếu bà \(N\) không bị bệnh \(Y\).

Theo bài ra ta có: \(P(\bar B\mid \bar A) = 0,97{\rm{;}}\)

\(P(\bar B\mid A)\) là xác suất để bà N có xét nghiệm âm tính nếu bà N bị bệnh Y

\(P(\bar B\mid A) = 1 - 0,94 = 0,06.{\rm{ }}\)

Thay vào công thức Bayes ta có: \(P(\bar A\mid \bar B) = \frac{{0,995 \cdot 0,97}}{{0,995 \cdot 0,97 + 0,005 \cdot 0,06}} \approx 0,9997.\)

Như vậy, với xét nghiệm cho kết quả âm tính, xác suất không mắc bệnh Y của bà N tăng lên thành \(99,97\% \) (trước xét nghiệm là \(99,5\% \) ).

Lời giải

a) Xét hai biến cố:

A: "Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện tốt”;

B: "Linh kiện được lấy ra từ lô hàng do nhà máy I sản xuất".

Vi lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I và 120 sản phẩm của nhà máy số II nên \(P(B) = \frac{{80}}{{80 + 120}} = 0,4\), suy ra \(P(\bar B) = 1 - 0,4 = 0,6\).

Vì tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I, II lần lượt là: \(4\% ;3\% \) nên tỉ lệ thành phẩm (linh kiện tốt) của các nhà máy I, II lần lượt là \(96\% ;97\% \).

Do đó \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = 0,96\) và \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,97\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt là:

\({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,4 \cdot 0,96 + 0,6 \cdot 0,97 = 0,966.\)

b) Xét biến cố C: "Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện phế phẩm".

Khi đó, ta có \({\rm{C}} = \bar A\). Suy ra \({\rm{P}}({\rm{C}}) = {\rm{P}}(\bar A) = 1 - {\rm{P}}({\rm{A}}) = 1 - 0,966 = 0,034\).

Theo bài ra ta có: \(P(C\mid B) = 4\%  = 0,04\).

Do đó, nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy I sản xuất là: \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{C}}) = \frac{{P(B) \cdot P(C\mid B)}}{{P(C)}} = \frac{{0,4 \cdot 0,04}}{{0,034}} = \frac{8}{{17}}\).

Nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy II sản xuất là: \({\rm{P}}(\bar B\mid {\rm{C}}) = 1 - {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{C}}) = 1 - \frac{8}{{17}} = \frac{9}{{17}}\).

Vi \(\frac{9}{{17}} > \frac{8}{{17}}\) nên nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất linh kiện đó do nhà máy II sản xuất là cao hơn.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP