Có hai cái hộp giống nhau, hộp thứ nhất chứa 5 quả bóng bàn màu trắng và 3 quả bóng bàn màu vàng, hộp thứ hai chứa 4 quả bóng bàn màu trắng và 6 quả bóng bàn màu vàng. Các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Minh lấy ra ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp thứ nhất. Nếu quả bóng đó là bóng vàng thì Minh lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 quả bóng từ hộp thứ hai; nếu quả bóng đó màu trắng thì Minh lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 3 quả bóng từ hộp thứ hai.

a) Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất để có đúng 1 quả bóng màu vàng trong các quả bóng lấy ra từ hộp thứ hai.

b) Biết rằng các quả bóng lấy ra từ hộp thứ hai đều có màu trắng. Tính xác suất để quả bóng lấy ra từ hộp thứ nhất có màu vàng.

Câu hỏi trong đề: 38 bài tập Tính xác suất bằng cách sử dụng công thức Bayes (có lời giải) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi A là biến cố "Lấy được quả bóng vàng ở hộp thứ nhất "; B là biến cố “Lấy được đúng 1 quả bóng màu vàng ở hộp thứ hai" và C là biến cố "Các quả bóng lấy ra từ hộp thứ hai đều có màu trắng".

Ta có \(\quad P(A) = \frac{3}{8};P(\bar A) = \frac{5}{8};\quad P(B\mid A) = \frac{{C_6^1 \cdot C_4^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{8}{{15}}\);

\(P(B\mid \bar A) = \frac{{C_6^1C_4^2}}{{C_{10}^3}} = \frac{3}{{10}}{\rm{. }}\)

a) Ta có sơ đồ cây

Có hai cái hộp giống nhau, hộp thứ nhất chứa 5 quả bóng bàn màu trắng và 3 quả bóng bàn màu vàng, hộp thứ hai chứa 4 quả bóng bàn màu trắng (ảnh 1)

Dựa vào sơ đồ cây, ta có \(P(B) = \frac{1}{5} + \frac{3}{{16}} = \frac{{31}}{{80}}\).

b) Ta cần tính \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{C}})\).

Ta có \(P(A\mid C) = \frac{{P(A) \cdot P(C\mid A)}}{{P(C)}}\)

Ta có \(P(C\mid A) = \frac{{C_4^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{2}{{15}};P(C\mid \bar A) = \frac{{C_4^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{{30}}\)

Mà \(P(C) = P(A) \cdot P(C\mid A) + P(\bar A) \cdot P(C\mid \bar A) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{{15}} + \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{{30}} = \frac{{17}}{{240}}\).

Vậy \(P(A\mid C) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{{15}}:\frac{{17}}{{240}} = \frac{{12}}{{17}}\).

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một loại linh kiện do hai nhà máy số I , số II cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy \({\rm{I}},{\rm{II}}\) lần lượt là: \(4\% ;3\% \). Trong một lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I và 120 sản phẩm của nhà máy số II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ lô hàng đó.

a) Tính xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt.

b) Giả sử linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm. Xác suất linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao nhất?

Xem đáp án

Lời giải

a) Xét hai biến cố:

A: "Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện tốt”;

B: "Linh kiện được lấy ra từ lô hàng do nhà máy I sản xuất".

Vi lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I và 120 sản phẩm của nhà máy số II nên \(P(B) = \frac{{80}}{{80 + 120}} = 0,4\), suy ra \(P(\bar B) = 1 - 0,4 = 0,6\).

Vì tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I, II lần lượt là: \(4\% ;3\% \) nên tỉ lệ thành phẩm (linh kiện tốt) của các nhà máy I, II lần lượt là \(96\% ;97\% \).

Do đó \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = 0,96\) và \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,97\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt là:

\({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,4 \cdot 0,96 + 0,6 \cdot 0,97 = 0,966.\)

b) Xét biến cố C: "Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện phế phẩm".

Khi đó, ta có \({\rm{C}} = \bar A\). Suy ra \({\rm{P}}({\rm{C}}) = {\rm{P}}(\bar A) = 1 - {\rm{P}}({\rm{A}}) = 1 - 0,966 = 0,034\).

Theo bài ra ta có: \(P(C\mid B) = 4\% = 0,04\).

Do đó, nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy I sản xuất là: \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{C}}) = \frac{{P(B) \cdot P(C\mid B)}}{{P(C)}} = \frac{{0,4 \cdot 0,04}}{{0,034}} = \frac{8}{{17}}\).

Nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy II sản xuất là: \({\rm{P}}(\bar B\mid {\rm{C}}) = 1 - {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{C}}) = 1 - \frac{8}{{17}} = \frac{9}{{17}}\).

Vi \(\frac{9}{{17}} > \frac{8}{{17}}\) nên nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất linh kiện đó do nhà máy II sản xuất là cao hơn.

Câu 2

Giả sử có một loại bệnh mà tỉ lệ người mắc bệnh là \(0,1\% \). Giả sử có một loại xét nghiệm, mà ai mắc bệnh khi xét nghiệm cũng có phản ứng dương tính, nhưng tỉ lệ phản ứng dương tính giả là \(5\% \) (tức là trong số những người không bị bệnh có \(5\% \) số người xét nghiệm lại có phản ứng dương tính).

a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên.

b) Khi một người xét nghiệm có phản ứng dưởg tính thì khả năng mắc bệnh của người đó là bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Xem đáp án

Lời giải

a) Xét hai biến cố: \(K\) : "Người được chọn ra không mắc bệnh";

\(D\) : "Người được chọn ra có phản ứng dương tính".

Do tỉ lệ người mắc bệnh là \(0,1\% = 0,001\) nên \({\rm{P}}(K) = 1 - 0,001 = 0,999\).

Trong số những người không mắc bệnh có \(5\% \) số người có phản ứng dương tính nên \({\rm{P}}(D\mid K) = 5\% = 0,05\). Vì ai mắc bệnh khi xét nghiệm cũng có phản ứng dương tính nên \({\rm{P}}(D\mid \bar K) = 1\).

Sơ đồ hình cây ở Hình 3 biểu thi tình huống đã cho.

Giả sử có một loại bệnh mà tỉ lệ người mắc bệnh là 0,1 phần trăm. Giả sử có một loại xét nghiệm, mà ai mắc bệnh khi xét nghiệm cũng có phản ứng dương tính (ảnh 1)

b) Ta thấy: Khả năng mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính chính là \({\rm{P}}(\bar K\mid D)\). Áp dụng công thức Bayes, ta có:

\({\rm{P}}(\bar K\mid D) = \frac{{{\rm{P}}(\bar K) \cdot {\rm{P}}(D\mid \bar K)}}{{{\rm{P}}(\bar K) \cdot {\rm{P}}(D\mid \bar K) + {\rm{P}}(K) \cdot {\rm{P}}(D\mid K)}} = \frac{{0,001}}{{0,001 + 0,999 \cdot 0,05}} \approx 1,96\% .\)

Vậy xác suất mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính là \(1,96\% \).

Câu 3