Biết rằng khi nung nóng một vật với nhiệt độ tăng từ \(20^\circ {\rm{C}}\), mỗi phút tăng \(4^\circ {\rm{C}}\) trong \(70\) phút, sau đó giảm mỗi phút \(2^\circ {\rm{C}}\) trong \[50\] phút. Hàm số biểu thị nhiệt độ \[\left( {^\circ {\rm{C}}} \right)\] trong tủ theo thời gian \(t\) (phút) có dạng:

\(T\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}20 + 4t\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,0 \le t \le 70\\a - 2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,70 < t \le 120\end{array} \right.\) (\(a\) là hằng số).

Biết rằng, \(T\left( t \right)\) là hàm liên tục trên tập xác định. Tìm giá trị của \(a\).

Với \(0 \le t < 70\), ta có hàm số \(T\left( t \right) = 20 + 4t\) là hàm đa thức nên hàm số này liên tục trên \(\left[ {0;\,70} \right)\).

Với \(70 < t \le 120\), ta có hàm số \(T\left( t \right) = a - 2t\) (\(a\) là hằng số) là hàm đa thức nên hàm số này liên tục trên \(\left[ {0;\,70} \right)\).

Xét tính liên tục của hàm số tại \({t_0} = 70\):

Tại \[{t_0} = 70\], ta có: \[T\left( {70} \right) = 300\].

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{70}^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{70}^ - }} \left( {20 + 4t} \right) = 300;\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{70}^ + }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{70}^ + }} \left( {a - 2t} \right) = a - 140\].

Hàm số \(T\left( t \right)\) liên tục trên tập xác định khi và chỉ khi hàm số liên tục tại \({t_0} = 70\), điều này xảy ra khi và chỉ khi \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{70}^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{70}^ + }} T\left( x \right) = T\left( {70} \right) \Leftrightarrow a - 140 = 300 \Leftrightarrow a = 440\].

Vậy giá trị của \(a = 440\).