Bạn Hà thả quả bóng cao su từ độ cao \(10\)m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng \(\frac{3}{4}\) độ cao trước đó. Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn bằng bao nhiêu mét?

Cách 1.

Gọi độ cao của quả bóng nảy lên lần thứ nhất là \({u_1}\). Ta có \({u_1} = \frac{3}{4} \cdot 10 = \frac{{15}}{2}\) (m).

Theo bài ra, ta có độ cao của quả bóng trong các lần nảy tiếp theo lần lượt là:

\({u_2} = \frac{3}{4}{u_1};\,{u_3} = \frac{3}{4}{u_2};\,...;\,{u_n} = \frac{3}{4}{u_{n - 1}};\,...\).

Như vậy, độ cao mỗi lần nảy lên của quả bóng tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = \frac{{15}}{2}\) và công bội \(q = \frac{3}{4}\).

Khi đó, tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn là:

\(S = 10 + 2{u_1} + 2{u_2} + ... + 2{u_n} + ....\)\( = 10 + 2\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ...} \right)\)\( = 10 + 2 \cdot \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 10 + 2 \cdot \frac{{\frac{{15}}{2}}}{{1 - \frac{3}{4}}} = 70\) (m).

Cách 2.

Mỗi quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có \({u_1} = 10\) và \(q = \frac{3}{4}\).

Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)\( = \frac{{10}}{{1 - \frac{3}{4}}}\) \( = 40\) (m).

Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn \(2S - 10 = 70\) (m).

Đáp án: 70.