Cho \(B = \frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 3}}\).

          a) Điều kiện xác định của \(B\) là \(x \ne 0\).

          b) \(B = 1 - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 3}}\).

          c) Giá trị nhỏ nhất của \(B\) bằng \( - \frac{4}{3}\).

          d) Giá trị lớn nhất của \(B\) bằng \(1.\)

a) Sai

Điều kiện xác định của \(K\) là: \(x - 1 \ne 0;{\rm{ }}x + 1 \ne 0;{\rm{ }}{x^2} - 1 \ne 0\) và \(x \ne 0\).

Do đó, \(x \ne 0,x \ne 1\) và \(x \ne  - 1\).

b) Đúng

Với \(x \ne 0,x \ne 1\) và \(x \ne  - 1\), ta có:

\(K = \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{{{x^2} - 4x - 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\)

\(K = \left[ {\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{{x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\)

\(K = \left[ {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\)

\(K = \left[ {\frac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1 + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\)

\(K = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 1}} \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\)

\(K = \frac{{x + 2003}}{x}\)

\(K = \frac{x}{x} + \frac{{2003}}{x}\)

\(K = 1 + \frac{{2023}}{x}.\)

c) Đúng.

Ta có: \(K = 1 + \frac{{2023}}{x}\) nên để \(K\) nhận giá trị nguyên thì \(\frac{{2023}}{x}\) đạt giá trị nguyên.

Suy ra \(2003 \vdots x\) hay \(x\) là Ư(2003).

Suy ra \(x \in \left\{ { - 2003;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2003} \right\}\).

Vậy có bốn giá trị nguyên của \(x\) để \(K\) nhận giá trị nguyên.

d) Sai.

Tổng các giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn để \(K\) nhận giá trị nguyên là: \( - 2003 + \left( { - 1} \right) + 1 + 2003 = 0\).

a) Đúng

Điều kiện xác định của \(A\) là \({x^2} - 4 \ne 0;{\rm{ }}x - 2 \ne 0\) và \(x + 2 \ne 0\).

Do đó, \(x \ne  \pm 2\).

b) Sai

Với \(x \ne  \pm 2\), ta có: \(A = \left( {\frac{x}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{x + 2}} + \frac{2}{{2 - x}}} \right):\left( {1 - \frac{x}{{x + 2}}} \right)\)

                                  \( = \left[ {\frac{x}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{1 \cdot \left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{2 \cdot \left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}} \right]:\left( {\frac{{x + 2 - x}}{{x + 2}}} \right)\)

                                  \( = \frac{{x + x - 2 - 2x - 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}:\frac{2}{{x + 2}}\)

                                 \( = \frac{{ - 6}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}.\frac{{x + 2}}{2}\)

                                 \( = \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\).

c) Đúng

Tại \(x = 5\), thay vào \(A = \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\), ta được: \(A = \frac{{ - 3}}{{5 - 2}} = \frac{{ - 3}}{3} =  - 1\).

d) Đúng

Để \(A = \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\) nhận giá trị nguyên thì \(\frac{{ - 3}}{{x - 2}} \in \mathbb{Z}\), suy ra \( - 3 \vdots \left( {x - 2} \right)\) hay \(x - 2\) phải là ước của \( - 3\).

Do đó, \(\left( {x - 2} \right) \in \left\{ { - 1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}3;{\rm{ }} - 3} \right\}\) suy ra \(x \in \left\{ {1;{\rm{ }}3;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }}5} \right\}\).

Do đó, có 4 giá trị nguyên thỏa mãn để \(A\) có giá trị là số nguyên.