Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(1\).

a) \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {B'D'} \).

b) \(\left| {\overrightarrow {A'C} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = \sqrt 3 \).

c) \(\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {D'D} \).

d) \(\overrightarrow {A'C} \cdot \overrightarrow {BD} = \sqrt 2 \).

Gọi \(x\,\,{\rm{(km/h)}}\) là vận tốc của tàu, \(x > 0\).

Thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là: \(\frac{1}{x}\) (giờ).

Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất để tàu chạy 1 km là: \(\frac{1}{x} \cdot 480 = \frac{{480}}{x}\) (nghìn đồng).

Hàm chi phí cho phần thứ hai là \(p = k{x^2}\) (nghìn đồng/ giờ).

Khi \(x = 10,p = 10 \Rightarrow k = 0,1\) nên \(p = 0,1{x^2}\) (nghìn đồng/ giờ).

Do đó chi phí phần thứ hai để tàu chạy 1 km là: \(\frac{1}{x} \cdot 0,1{x^2} = 0,1x\) (nghìn đồng).

Vậy tổng chi phí nhiên liệu để tàu chạy 1 km đường sông: \(f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0,1x\) (nghìn đồng).

Thay \(x = v = 30\) (km/giờ) vào ta có \(f\left( {30} \right) = \frac{{480}}{{30}} + 0,1 \cdot 30 = 19\) (nghìn đồng).

Từ giả thiết, ta suy ra được:

\(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b ;\,\,\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {DAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\); \(\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {BAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Giả sử lực tổng hợp là \(\overrightarrow m \), tức là \(\overrightarrow m = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \).

Khi đó, \({\overrightarrow m ^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)^2}\)\( = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\overrightarrow c ^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 2\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c + 2\overrightarrow c \cdot \overrightarrow a \)

                        \( = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} + 0 + 2\left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \left| {\overrightarrow c } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) + 2\left| {\overrightarrow c } \right| \cdot \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow c ,\overrightarrow a } \right)\)

                        \( = {10^2} + {10^2} + {20^2} + 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} + 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

                        \( = 600 + \frac{{800}}{{\sqrt 3 }}\).

Suy ra \({\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {\overrightarrow m ^2} = 600 + \frac{{800}}{{\sqrt 3 }}\). Do đó, \(\left| {\overrightarrow m } \right| = \sqrt {600 + \frac{{800}}{{\sqrt 3 }}} \approx 32,6\).

Vậy độ lớn hợp lực của các lực \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ,\,\overrightarrow c \) bằng khoảng \(32,6\) N.