Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở \(A\) đến một hòn đảo ở \(C\) như hình. Khoảng cách từ hòn đảo \(C\) đến bờ biển là đoạn \({\rm{CB}}\,{\rm{ = }}\,4\,{\rm{km}}\). Bờ biển chạy thẳng từ \(A\) đến \(B\) với khoảng cách là \(12\;{\rm{km}}\). Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Hỏi cần đặt vị trí nối dây \(M\) trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) cách nhà máy điện A bao nhiêu km để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.

Gọi khoảng cách BM là \(x\left( {{\rm{km}}} \right),\left( {0 \le x \le 12} \right)\).

Khi đó khoảng cách AM là \(12 - x\) (km).

Khoảng cách \({\rm{CM}}\) là \(\sqrt {16 + {x^2}} (\;{\rm{km}})\).

Khi đó chi phí lắp đặt dây điện là: \(f(x) = 30(12 - x) + 50\sqrt {16 + {x^2}} \) (triệu đồng).

Bài toán trở thành tìm \(x \in \left[ {0;12} \right]\) để \(f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có, \({\rm{ }}f'(x) = - 30 + \frac{{50x}}{{\sqrt {16 + {x^2}} }}\)

Có $f\text{'}\left(x\right)=0$ \( \Leftrightarrow - 30 + \frac{{50x}}{{\sqrt {16 + {x^2}} }} = 0\)\( \Leftrightarrow - 30\sqrt {16 + {x^2}} + 50x = 0\)\( \Leftrightarrow 3\sqrt {16 + {x^2}} = 5x\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\9\left( {16 + {x^2}} \right) = 25{x^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = 3 \in \left( {0;12} \right)\)

Ta có \(f(0) = 560;\,\,f(3) = 520;\,\,f(12) = 200\sqrt {10} \).

Do đó chi phí nhỏ nhất để lắp dây điện là 520 triệu đồng khi \({\rm{M}}\) cách A một đoạn 9 km trên đoạn AB.

Trả lời: 9.