Câu hỏi:

12/09/2025 26 Lưu

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở \(A\) đến một hòn đảo ở \(C\) như hình. Khoảng cách từ hòn đảo \(C\) đến bờ biển là đoạn \({\rm{CB}}\,{\rm{ = }}\,4\,{\rm{km}}\). Bờ biển chạy thẳng từ \(A\) đến \(B\) với khoảng cách là \(12\;{\rm{km}}\). Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Hỏi cần đặt vị trí nối dây \(M\) trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) cách nhà máy điện A bao nhiêu km để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.

Ảnh có chứa hàng, biểu đồ, Sơ đồ

Nội dung do AI tạo ra có thể không chính xác.

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Gọi khoảng cách BM là \(x\left( {{\rm{km}}} \right),\left( {0 \le x \le 12} \right)\).

Khi đó khoảng cách AM là \(12 - x\) (km).

Khoảng cách \({\rm{CM}}\)\(\sqrt {16 + {x^2}} (\;{\rm{km}})\).

Khi đó chi phí lắp đặt dây điện là: \(f(x) = 30(12 - x) + 50\sqrt {16 + {x^2}} \) (triệu đồng).

Bài toán trở thành tìm \(x \in \left[ {0;12} \right]\) để \(f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có, \({\rm{ }}f'(x) = - 30 + \frac{{50x}}{{\sqrt {16 + {x^2}} }}\)

f'(x)=0 \( \Leftrightarrow - 30 + \frac{{50x}}{{\sqrt {16 + {x^2}} }} = 0\)\( \Leftrightarrow - 30\sqrt {16 + {x^2}} + 50x = 0\)\( \Leftrightarrow 3\sqrt {16 + {x^2}} = 5x\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\9\left( {16 + {x^2}} \right) = 25{x^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = 3 \in \left( {0;12} \right)\)

Ta có \(f(0) = 560;\,\,f(3) = 520;\,\,f(12) = 200\sqrt {10} \).

Do đó chi phí nhỏ nhất để lắp dây điện là 520 triệu đồng khi \({\rm{M}}\) cách A một đoạn 9 km trên đoạn AB.

Trả lời: 9.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Gọi \(x\) là số hành khách trên mỗi chuyến xe để số tiền thu được là lớn nhất \(\left( {0 < x \le 60} \right)\).

Gọi \(F\left( x \right)\) là hàm lợi nhuận thu được (\(F\left( x \right)\): đồng)

Số tiền thu được: \(F\left( x \right) = {\left( {300 - \frac{{5x}}{2}} \right)^2}.x = 90000x - 1500{x^2} + \frac{{25}}{4}{x^3}\)

 

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

\(F'\left( x \right) = 90000 - 3000x + \frac{{75}}{4}{x^2};\,F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 90000 - 3000x + \frac{{75}}{4}{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 120({\rm{ktm)}}\\x = 40(tm)\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên

A math problem with numbers and symbols

Description automatically generated with medium confidence

Vậy để thu được số tiền lớn nhất thì trên mỗi chuyến xe khách đó phải chở 40 người. Chọn B.

Lời giải

Gọi \(x\) là chiều rộng của đáy thùng, \(x > 0\), đơn vị \({\rm{m}}\).

\( \Rightarrow \) chiều dài của đáy thùng là: \(2x\).

Ta có \(V = x.2x.h = 10\) \( \Rightarrow h = \frac{5}{{{x^2}}}\).

Chi phí làm đáy thùng là: \(2{x^2}.75 = 150{x^2}\) (đơn vị nghìn đồng).

Chi phí làm diện tích xung quanh là : \(\left( {2x.\frac{5}{{{x^2}}} + 2.2x.\frac{5}{{{x^2}}}} \right).55 = \frac{{1650}}{x}\) (đơn vị nghìn đồng).

\( \Rightarrow \) Chi phí làm thùng là : \(T = 150{x^2} + \frac{{1650}}{x}\) (đơn vị nghìn đồng).

Xét hàm số \(T = 150{x^2} + \frac{{1650}}{x}\), với \(x > 0\).

Ta có \(T'\left( x \right) = 300x - \frac{{1650}}{{{x^2}}}\) ; \(T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên \(T\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}\).

Vậy chi phí ít nhất bằng \(T = 150{\sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}^2} + \frac{{1650}}{{\sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}}} \approx 1402000\) đồng. Chọn C.

Câu 3

A. \(20\).                                 

B. \(10\).                                 
C. \(1200\).                                 
D. \(1100\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

A. 289 \(\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).                                  

B. 105 \(\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).                                              
C. 111 \(\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).                                              
D. 487 \(\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP