Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở \(A\) đến một hòn đảo ở \(C\) như hình. Khoảng cách từ hòn đảo \(C\) đến bờ biển là đoạn \({\rm{CB}}\,{\rm{ = }}\,4\,{\rm{km}}\). Bờ biển chạy thẳng từ \(A\) đến \(B\) với khoảng cách là \(12\;{\rm{km}}\). Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Hỏi cần đặt vị trí nối dây \(M\) trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) cách nhà máy điện A bao nhiêu km để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.

Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục \(Ox\). Toạ độ của chất điểm tại thời điểm \(t\) được xác định bởi hàm số \(x(t) = {t^3} - 6{t^2} + 9t\) với \(t \ge 0\). Khi đó \(x'(t)\) là vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t\), kí hiệu \(v(t);v'(t)\) là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm \(t\), kí hiệu \(a(t)\).

a) Hàm \(v(t) = 3{t^2} - 12t + 9\).

b) Hàm \(a(t) = 6t - 12\).

c) Trong khoảng từ \[t = 0\] đến \(t = 2\) thì vận tốc của chất điểm tăng.

d) Từ \(t = 2\) trở đi thì vận tốc của chất điểm giảm.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Một nhóm học sinh được giao nhiệm vụ làm một hộp không nắp làm bằng từ mảnh bìa như hình vẽ.

Một người dự định làm một bể chứa nước hình trụ bằng inox có nắp đậy với thể tích \(1\) (m³). Chi phí mỗi m² đáy là \(600\) nghìn đồng, mỗi m² nắp là \(200\) nghìn đồng và mỗi m² mặt bên là \(400\) nghìn đồng. Hỏi người đó làm bán kính bể là bao nhiêu để chi phí làm bể ít nhất?

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.

Một sợi dây kim loại dài \(a\) \(\left( {{\rm{cm}}} \right)\). Người ta cắt đoạn dây đó thành hai đoạn có độ dài \(x\) \(\left( {{\rm{cm}}} \right)\)được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông \(\left( {a > x > 0} \right).\)

a) Bán kính đường tròn: \(r = \frac{x}{\pi }\).

b) Diện tích hình vuông: \({\left( {\frac{{a - x}}{4}} \right)^2}\).

c) Tổng diện tích hai hình: \(\frac{{\left( {4 + \pi } \right).{x^2} - 2a\pi x + \pi {a^2}}}{{16\pi }}\).

d) Khi \(x = \frac{{a\pi }}{{2 + \pi }}\) thì hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.

Thể tích nước của một bể bơi sau \[t\] phút bơm được tính theo công thức \(V\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( {30{t^3} - \frac{{{t^4}}}{4}} \right)\)(\({{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)) \(\left( {0 \le t \le 90} \right)\). Tốc độ bơm nước tại thời điểm \[t\] được tính bởi \(v\left( t \right) = V'\left( t \right)\).

a) Thể tích nước sau \(10\) phút là 80 (\({{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)).

b) Tốc độ bơm nước tại thời điểm \[t = 20\] phút là 280 (\[{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]/phút).

c) Sau \(60\) phút, tốc độ bơm nước giảm.

d) Tốc độ bơm nước cao nhất là \(1000\) (\[{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]/phút).