Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau

a) \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\);

b) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\).

a) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Sự biến thiên

Có \(y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 1\).

Hàm số đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = - \infty \).

Do đó \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 1\).

Suy ra đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung là \(\left( {0; - 1} \right)\).

Giao điểm của đồ thị với trục hoành là \(\left( {1;0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(−1; 1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

b) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Sự biến thiên

Có \(y' = - \frac{3}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\).

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \).

Do đó đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = 2\).

Do đó đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung là \(\left( {0; - 1} \right)\).

Giao điểm của đồ thị với trục hoành là \(\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( {1;2} \right)\) của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.