Cho biết \(\tan \alpha  = 2\). Giá trị của \(M = \frac{{10\sin \alpha  + 11\cos \alpha }}{{4\sin \alpha  + 7\cos \alpha }}\) bằng

Một xưởng sản xuất đồ gỗ mỹ nghệ sản suất ra hai bộ sản phẩm loại \[I\] và loại \[II\]. Mỗi bộ sản phẩm loại \[I\] lãi \[5\] triệu đồng, mỗi bộ sản phẩm loại \[II\] lãi \[4\] triệu đồng. Để sản suất mỗi bộ sản phẩm loại \[I\] cần máy làm việc trong \[3\] giờ và nhân công làm việc trong \[2\] giờ. Để sản suất mỗi bộ sản phẩm loại \[II\] cần máy làm việc trong \[3\] giờ và nhân công làm việc trong \[1\] giờ. Biết rằng chỉ dùng máy hoặc chỉ dùng nhân công không thể đồng thời làm hai loại sản phẩm cùng lúc, số nhân công luôn ổn định. Một ngày máy làm việc không quá \[15\]giờ, nhân công làm việc không quá \[8\] giờ. Tính số tiền lãi lớn nhất xưởng đó đạt được trong một ngày nếu bán hết toàn bộ sản phẩm làm ra.

Cho tam giác \[ABC\] có $AC=\mathrm{10,}BC=\mathrm{12,}\widehat{B}=45°$.

a) Công thức tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là \(R = \frac{{BC}}{{2\sin B}}\).

b) \(\sin A = \frac{{5\sqrt 2 }}{{12}}\).

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là \(5\sqrt 2 \).

d) \(\frac{{3BC - 2AC - AB}}{{6\sin A - 4\sin B - 2\sin C}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Hai tàu du lịch xuất phát từ hai thành phố cảng \(A\) và \(B\) cách nhau \(200\,\,{\rm{(km)}}\) đến đảo \(C\) như hình minh họa.

Biết $\widehat{CAB}=30°;\widehat{CBA}=45°.$ Tàu 1 ở thành phố \(A\) khởi hành lúc 8 giờ và chuyển động đều với vận tốc \[80\,\,{\rm{(km/h)}}\]. Tàu 2 ở thành phố \(B\) muốn đến đảo \(C\) cùng lúc với tàu 1 thì phải khởi hành lúc \(a\) giờ \(b\) phút (làm tròn đến đơn vị phút), biết tàu 2 chuyển động đều cùng vận tốc \(80\,{\rm{(km/h)}}.\) Tính \(a + b.\)

Phần nửa mặt phẳng bờ \(d\) không bị gạch ở hình vẽ sau là miền nghiệm của bất phương trình \(x + my \ge n\).

Giá trị của biểu thức \(S = 3m + n\) bằng bao nhiêu?