Cho \(\Delta ABC.\) Lấy điểm \(D\) bất kì trên cạnh \(BC.\) Qua \(D\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AC\) tại \(F.\) Qua \(D\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(E.\)

a) Tứ giác \(AEDF\) là hình bình hành.

b) \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}.\)

c) \(\frac{{ED}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}}.\)

d) \(\frac{{DF}}{{AB}} + \frac{{ED}}{{AC}} = 2.\)

a) Đúng.

Tứ giác \(AEDF\) có: \(AF\;{\rm{//}}\;ED,\;AE\;{\rm{//}}\;DF\) nên tứ giác \(AEDF\) là hình bình hành.

b) Đúng.

\(\Delta ABC\) có: \(AC\;{\rm{//}}\;ED\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}.\)

c) Đúng.

\(\Delta ABC\) có: \(AB\;{\rm{//}}\;DF\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}}.\)

Mà \(ED = AF\) (do tứ giác \(AEDF\) là hình bình hành) nên \(\frac{{ED}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}}.\)

d) Sai.

Vì tứ giác \(AEDF\) là hình bình hành nên \(AE = DF.\) Mà \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}\;\left( {cmt} \right)\) nên \(\frac{{DF}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}.\)

Do đó, \(\frac{{DF}}{{AB}} + \frac{{ED}}{{AC}} = \frac{{CD}}{{BC}} + \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{CD + BD}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BC}} = 1.\) Vậy \(\frac{{DF}}{{AB}} + \frac{{ED}}{{AC}} = 1.\)