Cho \(\Delta ABC.\) Lấy điểm \(D\) bất kì trên cạnh \(BC.\) Qua \(D\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AC\) tại \(F.\) Qua \(D\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(E.\)

a) Tứ giác \(AEDF\) là hình bình hành.

b) \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}.\)

c) \(\frac{{ED}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}}.\)

d) \(\frac{{DF}}{{AB}} + \frac{{ED}}{{AC}} = 2.\)

a) Đúng.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB\;{\rm{//}}\;CD,\;AB = CD.\)

Vì \(M,\;N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) nên \(AM = MB = \frac{1}{2}AB,\;DN = NC = \frac{1}{2}DC.\)

Do đó, \(AM = MB = DN = NC.\)

Tứ giác \(AMCN\) có: \(AM = CN,\;AM\;{\rm{//}}\;CN\) nên tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành.

b) Đúng.

Vì tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành nên \(AN\;{\rm{//}}\;CM.\)

Tam giác \(APB\) có: \(AP\;{\rm{//}}\;QM\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{BM}}{{MA}} = \frac{{BQ}}{{QP}}.\)

c) Đúng.

Tam giác \(DQC\) có: \(PN\;{\rm{//}}\;CQ\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{DN}}{{NC}} = \frac{{DP}}{{PQ}}.\)

Mà \(DN = NC\) nên \(\frac{{DP}}{{PQ}} = 1\) hay \(DP = PQ.\) Do đó, \(P\) là trung điểm của \(DQ.\)

d) Sai.

Vì \(\frac{{BM}}{{MA}} = \frac{{BQ}}{{QP}},\) mà \(MA = MB\) nên \(\frac{{BQ}}{{PQ}} = 1\) hay \(PQ = QB.\)

Ta có: \(PQ = QB,\;DP = PQ\) nên \(PQ = QB = DP.\)

Mà \(PQ + QB + DP = BD\) nên \(DP = \frac{1}{3}BD.\)