Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(M,\;N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD.\) Gọi \(P,\;Q\) theo thứ tự là giao điểm của \(AN,\;CM\) với đường chéo \(BD.\)

         a) Tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành.

         b) \(\frac{{BM}}{{MA}} = \frac{{BQ}}{{QP}}.\)

         c) \(P\) là trung điểm của \(DQ.\)

         d) \(DP = \frac{1}{4}BD.\)

Đáp án: \(120\)

Vì tam giác \(ABC\) có: \(FE\;{\rm{//}}\;AB\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AF}}{{FC}} = \frac{{BE}}{{EC}}.\)

Do đó, \(BE = \frac{{AF}}{{FC}} \cdot EC = \frac{{80}}{{40}} \cdot 60 = 120\;\left( {\rm{m}} \right).\)

Vậy khoảng cách giữa hai vị trí \(E\) và \(B\) bằng \(120\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Đáp án: \(6\)

Lấy điểm \(F\) trên tia \(AM\) sao cho \(M\) là trung điểm của \(EF.\)

Tứ giác \(ECFB\) có: \(M\) là giao điểm của \(EF,\;CB.\) Mà \(M\) là trung điểm của \(EF,\) \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Do đó, tứ giác \(ECFB\) là hình bình hành. Do đó, \(CF\;{\rm{//}}\;EB.\) Hay \(NE\;{\rm{//}}\;CF.\)

Vì \(EM = \frac{1}{3}EA,\;EM = \frac{1}{2}EF\) nên \(\frac{1}{3}AE = \frac{1}{2}EF\) suy ra \(\frac{{AE}}{{EF}} = \frac{3}{2}.\)

Tam giác \(ACF\) có: \(NE\;{\rm{//}}\;CF\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AE}}{{EF}} = \frac{3}{2}.\)

Do đó, \(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{3}{5}.\) Vậy \(AN = \frac{3}{5} \cdot 10 = 6\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)