Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AB = 12\;{\rm{cm}}{\rm{, }}BC = 6\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC.\) Gọi \(E\) là điểm thuộc tia đối của tia \(DA\) sao cho \(DE = \frac{1}{4}AE.\)

a) \(\Delta ADC\) vuông tại \(D.\)

b) \(AD = \sqrt {135} \;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

c) \(EC = 5\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

d) Chu vi \(\Delta DEC\) lớn hơn \(12\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

a) Sai.

Vì \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\) nên \(AC = \frac{4}{3}AB.\)

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên theo định lí Pythagore ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = A{B^2} + {\left( {\frac{4}{3}AB} \right)^2} = \frac{{25}}{9}A{B^2}\) nên \(BC = \frac{5}{3}AB,\) suy ra \(\frac{{BC}}{5} = \frac{{AB}}{3}.\)

b) Sai.

Vì \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\) nên \(\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4},\)mà \(\frac{{BC}}{5} = \frac{{AB}}{3}\) nên \(\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{BC}}{5}.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{BC}}{5} = \frac{{AB + AC + BC}}{{3 + 4 + 5}} = \frac{{48}}{{12}} = 4.\)

Vậy \(\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{BC}}{5} = 4.\)

c) Đúng.

Ta có: \(BC = 5 \cdot 4 = 20\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy \(BC = 20\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

d) Đúng.

Ta có: \(AB = 3 \cdot 4 = 12\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\) và \(AC = 4 \cdot 4 = 16\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Diện tích \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) là: \(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích \(\Delta ABC\) bằng \(96\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\)

Đáp án: \(16\)

Áp dụng định lý Pythagore vào \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) ta có:

\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} = {5^2} + {15^2} = 250\) nên \(BD = \sqrt {250}  \approx 16\;{\rm{km}}{\rm{.}}\)

Vậy khoảng cách từ vị trí máy bay đến vị trí \(D\) của sân bay  là khoảng \(16\;{\rm{km}}{\rm{.}}\)