Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AB = 12\;{\rm{cm}}{\rm{, }}BC = 6\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC.\) Gọi \(E\) là điểm thuộc tia đối của tia \(DA\) sao cho \(DE = \frac{1}{4}AE.\)

a) \(\Delta ADC\) vuông tại \(D.\)

b) \(AD = \sqrt {135} \;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

c) \(EC = 5\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

d) Chu vi \(\Delta DEC\) lớn hơn \(12\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

a) Đúng.

Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên theo định lí Pythagore ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169\) nên \(BC = \sqrt {169}  = 13\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy \(BC = 13\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

b) Sai.

Diện tích \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) là: \(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích \(\Delta ABC\) bằng \(30\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

c) Sai.

Vì \(AD\) là đường cao của \(\Delta ABC\) nên diện tích \(\Delta ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}AD \cdot BC.\)

Do đó, \(\frac{1}{2} \cdot AD \cdot 13 = 30,\) suy ra \(AD = \frac{{60}}{{13}}\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Vậy \(AD = \frac{{60}}{{13}}\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

d) Đúng.  

Vì \(\Delta ABD\) vuông tại \(D\) nên theo định lí Pythagore ta có: \(B{D^2} + A{D^2} = A{B^2}\) nên \(B{D^2} + {\left( {\frac{{60}}{{13}}} \right)^2} = {5^2},\) hay \(B{D^2} = \frac{{625}}{{169}},\) suy ra \[BD = \sqrt {\frac{{625}}{{169}}}  = \frac{{25}}{{13}}\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

\(\Delta ABD\) có: \(BD < AD\;\left( {{\rm{Do}}\;\;\frac{{25}}{{13}} < \frac{{60}}{{13}}} \right)\) nên \(\widehat B > \widehat {DAB}.\) Vậy \(\widehat B > \widehat {DAB}.\)