Cho hình thang \(ABCD\) có hai đáy là \(AB,\;CD.\)  Biết rằng \(\widehat {BAC} = 30^\circ .\) Khi đó:

Đáp án: \(60\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân nên \(\widehat A = \widehat B,\;\widehat C = \widehat D.\)

Lại có: \[\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \] (tổng các góc trong một tứ giác)

\(\widehat A + \widehat A + \widehat C + \widehat C = 360^\circ \)

\(2\left( {\widehat A + \widehat C} \right) = 360^\circ \)

\(\widehat A + \widehat C = 180^\circ .\)

Mà \(\widehat A = 2\widehat C\) nên \(\widehat C + 2\widehat C = 180^\circ .\) Vậy \(\widehat C = 60^\circ .\)

Đáp án: \(90\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AD = BC,\;AC = BD,\;\widehat {ADC} = \widehat {BCD}.\)

Tam giác \(ABD\) và tam giác \(BAC\) có: \(AD = BC,\;AC = BD,\;AB\) chung.

Do đó, \(\Delta ABD = \Delta BAC\;\left( {c - c - c} \right).\) Suy ra, \(\widehat {ABP} = \widehat {BAP}\) nên tam giác \(APB\) cân tại \(P.\)

Suy ra: \(AP = PB.\) Do đó, điểm \(P\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\;\left( 1 \right).\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(\widehat {ADC} = \widehat {QAB},\;\widehat {QBA} = \widehat {BCD}\) (các góc đồng vị).

Lại có: \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\;\left( {cmt} \right)\) nên \(\widehat {QAB} = \widehat {QBA}.\) Do đó, tam giác \(QAB\) cân tại \(Q.\)

Suy ra \(QA = QB.\) Do đó, điểm \(Q\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\;\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\;\left( 2 \right)\) ta có: \(PQ\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB.\)

Suy ra: \(PQ \bot AB\) tại \(I.\) Vậy \(\widehat {QIB} = 90^\circ .\)