Cho hình thoi \(ABCD\) có hai đường chéo cắt nhau tại \[O.\] Biết rằng diện tích hình thoi bằng \(40\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\) Diện tích tam giác \(AOB\) bằng:

a) Đúng.

Tứ giác \(ABCD\) có: Hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(Q.\) Mà \(Q\) vừa là trung điểm của \(AC\) vừa là trung điểm của \(BD\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Lại có: \(AC \bot BD\) tại \(Q\) nên hình bình hành \(ABCD\) là hình thoi.

b) Đúng.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên \(BC = AB = 4\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Vậy \(BC = 4\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

c) Sai.

Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\) là tia phân giác của \(\widehat {BAD}.\) Do đó, \(\widehat {QAD} = \frac{1}{2}\widehat {BAD} = \frac{1}{2} \cdot 130^\circ  = 65^\circ .\)

Tam giác \(QAD\) vuông tại \(Q\) nên \(\widehat {QAD} + \widehat {QDA} = 90^\circ .\) Do đó, \(\widehat {QDA} = 90^\circ  - \widehat {QAD} = 90^\circ  - 65^\circ  = 25^\circ .\)

Vậy \(\widehat {ADB} = 25^\circ .\)

d) Đúng.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác \(AQB\), ta có:

\(A{Q^2} + Q{B^2} = A{B^2}\) suy ra \(Q{B^2} = \sqrt {A{B^2} - A{Q^2}}  = \sqrt {{4^2} - {{\left( {\sqrt 8 } \right)}^2}}  = \sqrt 8 {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Do đó, \(AQ = QB\).

Suy ra \(AC = BD.\)