Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \(AB.\) Lấy điểm \(D\) đối xứng với \(M\) qua \(H.\)

         a) \(AM = BM = MC.\)

         b) \(H\) là trung điểm của \(AB.\)

         c) \(\widehat {DAB} > \widehat {BAM}.\)

         d) Diện tích tứ giác \(AMBD\) bằng diện tích tam giác \(ABC\).

a) Đúng.

Vì \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) của tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC,\) mà \(BM = MC = \frac{1}{2}BC\) nên \(AM = BM = MC.\)

b) Đúng.

Vì \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \(AB\) nên \(MH \bot AB\) tại \(H.\)

Vì \(AM = BM\) nên tam giác \(ABM\) cân tại \(M.\) Do đó, \(HM\) vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác \(ABM\) nên \(H\) là trung điểm của \(AB.\)

c) Sai.

Vì \(D\) đối xứng với \(M\) qua \(H\) nên \(H\) là là trung điểm của \(DM.\)

Tứ giác \(AMBD\) có: Hai đường chéo \(AB\) và \(DM\) cắt nhau tại \(H.\) Mà \(H\) vừa là trung điểm của \(AB\) vừa là trung điểm của \(DM\) nên tứ giác \(AMBD\) là hình bình hành.

Mà \(MD \bot AB\) tại \(H\) nên hình bình hành \(AMBD\) là hình thoi.

Do đó, \(AB\) là tia phân giác của \(\widehat {DAM}.\) Suy ra \(\widehat {DAB} = \widehat {BAM}.\)

d) Đúng.

Ta có, diện tích hình tam giác \(ABC\) là: \(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC\).

Diện tích hình thoi \(AMBD\) là: \(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot DM\).

Lại có \(DMCA\) là hình bình hành \(\left( {MC\parallel AD,DM\parallel AC} \right)\) nên \(DM = CA\).

Do đó, \(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DM\).

Vậy diện tích tứ giác \(AMBD\) bằng diện tích tam giác \(ABC\).