Một nhân viên pha chế một mẫu trà sữa bằng cách trộn các chất lỏng lại với nhau, gồm: nước trà đen (mẫu T), nước đường nâu (mẫu D) và sữa tươi (mẫu S). Các mẫu chất lỏng này chỉ trao đổi nhiệt lẫn nhau mà không gây ra các phản ứng hóa học.
Bỏ qua sự trao đổi nhiệt với môi trường. Nhiệt độ trước khi trộn của mẫu T, mẫu D và mẫu S lần lượt là 22$^\circ$C, 25$^\circ$C và 30$^\circ$C. Khối lượng của mẫu T, mẫu D và mẫu S lần lượt là $m_T$ (kg), 2m$_T$ (kg) và 3m$_S$ (kg).
Biết rằng:

- Khi trộn mẫu T với mẫu D với nhau thì nhiệt độ cân bằng của hệ là 24$^\circ$C.
- Khi trộn mẫu D với mẫu S với nhau thì nhiệt độ cân bằng của hệ là 28$^\circ$C.

Hãy xét các nội dung sau:
a) Nhiệt độ cân bằng của hệ khi trộn mẫu T với mẫu S là $t_1 = 28^\circ$C.
b) Nhiệt độ cân bằng của hệ khi trộn cả ba mẫu là $t_2 = 27^\circ$C.
c) Nếu nhân viên này pha thêm một mẫu sữa tươi (có khối lượng $m_S$ (kg)) nữa vào hỗn hợp ba mẫu ở câu b thì nhiệt độ cân bằng của hệ lúc này là $t_3 = 28^\circ$C.
d) Biết nhiệt dung riêng của nước trà đen là $c_T = 4100\ \mathrm{J/(kg.K)}$, khối lượng của mẫu nước trà đen là $m_T = 0,08$ kg. Nhiệt nóng chảy riêng của nước đá và nhiệt dung riêng của nước lẫn lượt là $\lambda = 3,34.10^5\ \mathrm{J/kg}$ và $c_n = 4200\ \mathrm{J/(kg.K)}$. Nếu nhân viên tiếp tục thêm 0,3 kg nước đá ở $0^\circ$C vào hỗn hợp ở câu c thì khi nhiệt độ của hỗn hợp giảm còn $8^\circ$C, lượng nước đá đã tan hoàn toàn.

Đáp án đúng là A

Quá trình (1) sang (2) là quá trình đẳng tích, ta có:
$\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2} \Leftrightarrow \dfrac{p_0}{T} = \dfrac{2p_0}{T_2} \Rightarrow T_2 = 2T$
và khối khí không thực hiện công $A_{12} = 0$

Quá trình (2) sang (3) là quá trình đẳng áp, ta có:
$\dfrac{V_2}{T_2} = \dfrac{V_3}{T_3} \Leftrightarrow \dfrac{V_0}{2T} = \dfrac{2V_0}{T_3} \Rightarrow T_3 = 4T$
và khối khí thực hiện công có độ lớn
$A_{23} = p_2 \Delta V = p_2 (V_3 - V_2) = 2p_0 V_0$

Áp dụng phương trình Claperon cho khối khí tại trạng thái (1), ta có:
$p_1 V_1 = nRT_1 \Rightarrow p_0 V_0 = nRT \Rightarrow 2p_0 V_0 = 2nRT$
Suy ra: $A_{23} = 2nRT$

Nội năng của khối khí ở trạng thái (1), (2), (3) lần lượt là:
$U_1 = \dfrac{3}{2} nRT_1 = \dfrac{3}{2} nRT$
$U_2 = \dfrac{3}{2} nRT_2 = \dfrac{3}{2} nR2T = 3nRT$
$U_3 = \dfrac{3}{2} nRT_3 = \dfrac{3}{2} nR4T = 6nRT$

Độ biến thiên nội năng của khối khí trong quá trình (1) $\rightarrow$ (2) $\rightarrow$ (3) lần lượt là:
$\Delta U_{12} = U_2 - U_1 = A_{12} + Q_{12} \Rightarrow 3nRT - \dfrac{3}{2}nRT = 0 + Q_{12} \Rightarrow Q_{12} = \dfrac{3}{2} nRT$

$\Delta U_{23} = U_3 - U_2 = A_{23} + Q_{23} \Rightarrow 6nRT - 3nRT = -2nRT + Q_{23} \Rightarrow Q_{23} = 5nRT$

Nhiệt lượng mà khối khí nhận được trong cả quá trình (1) $\rightarrow$ (2) $\rightarrow$ (3) là:
$Q = Q_{12} + Q_{23} = \dfrac{3}{2} nRT + 5nRT = \dfrac{13}{2} nRT$

Đáp án đúng là B

Khối lượng ethanol chứa trong $20\,\ell$ rượu gạo $40^\circ$ là:
\[
m_e = D_e V_e = 789{,}40 \cdot 20 \cdot 10^{-3} = 6{,}312\,\mathrm{kg}.
\]

Khối lượng nước chứa trong $20\,\ell$ rượu gạo $40^\circ$ là:
\[
m_n = D_n V_n = 997{,}60 \cdot 20 \cdot 10^{-3} = 11{,}964\,\mathrm{kg}.
\]

Xét sự trao đổi nhiệt giữa ethanol và nước, ta có:
\[
Q_{\text{toả}} = Q_{\text{thu}} \;\;\Rightarrow\;\; m_n c_n (t_n - 45) = m_e c_e (45 - 35).
\]

\[
11{,}964 \cdot 4200 \cdot (t_n - 45) = 6{,}312 \cdot 2440 \cdot 10
\]

\[
t_n = \frac{106337}{20937} \approx 48^\circ\mathrm{C}.
\]