Cho \(\Delta ABC,\) đường trung tuyến \(AM.\) Gọi \(D\) là trung điểm của \(AM,\,\,E\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC,\) \(F\) là trung điểm của \(EC.\) Biết \(AC = 9{\rm{\;cm}},\) độ dài đoạn \(AE\) là          

Xét \(\Delta HIK\) có \(MN\,{\rm{//}}\,IK,\) theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{MH}}{{MI}} = \frac{{NH}}{{NK}}\) hay \(\frac{{MH}}{{MI}} = \frac{{NH}}{{HN - NH}}.\)

Suy ra \(\frac{x}{3} = \frac{7}{{12 - 7}},\) do đó \(x = \frac{{3 \cdot 7}}{5} = 4,2{\rm{\;cm}}{\rm{.}}\)

Đáp án đúng là: B

Ta có \(EF\,{\rm{//}}\,CD,\) mà \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(EF\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD.\)

Xét \(\Delta ADC\) có \(EI\,{\rm{//}}\,DC,\) theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AE}}{{ED}} = \frac{{AI}}{{IC}}.\)

Xét \(\Delta ABC\) có \(IF\,{\rm{//}}\,AB,\) theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AI}}{{IC}} = \frac{{BF}}{{FC}}.\)

Suy ra \(\frac{{BF}}{{FC}} = \frac{{AE}}{{ED}},\) theo tính chất tỉ lệ thức ta có: \(\frac{{BF}}{{BF + FC}} = \frac{{AE}}{{AE + ED}}.\)

Do đó \(\frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{1}{3},\) suy ra \(BF = \frac{{BC}}{3} = \frac{{15}}{3} = 5{\rm{\;cm}}.\)